Assim a integral em polares fica da forma
Podemos até interpretar a integral dupla como o cáculo do volume do
sólido que temos abaixo do gráfico da função
g(x, y) = (x^2 + y^2)^(1/2) e acima do quarto de círculo, que está
no plano xy.
Fizemos o desenho da região cujo volume a integral calcularia, com o
Plot3D, no note anexo, parece uma picanha ...e também desenhamos com
o flexível ParametricPlot3D, a fatia em que fixamos x igual a 1.5,
depois juntamos os desenhos. Na integral dupla do exercício, quando
fixamos x e integramos em y, calculamos a área A(x) da fatia da
picanha, daí basta integrar de novo, daí em x, com x entre 1 e 2,
para obter o volume da tal picanha.
Esta integral, estando no 15.4, deve ficar melhor em polares. Para
trocar a integral de cartesianas para polares, devemos substituir no
integrando x por rcostheta, y por rsentheta e multiplicar o
integrando pelo fator de correção r, depois ver como fica a região
correspondente no plano hipotético das coordenadas polares.
Bem a primeira parte é fácil, trocando para polares e multiplicando
pelo fator de correção, temos o novo integrando,
1/(x^2 + y^2)^(1/2) -> 1/((r costheta)^2 + (r sentheta)^2)^(1/2)
vezes r ...e isto dá 1! ...beleza o integrando simplificou muito.
Mas resta uma parte menos fácil, que é ver como a região, isto é, o
quarto de círculo fica nas coordenadas polares, que são definidas
pelas equações
x = rcostheta, y = rsentheta, portanto r = (x^2 + y^2) etc.,
tal não é muito fácil ...se fosse um quarto de círculo centrado na
origem, seria moleza, mas o círculo está centrado fora da origem no
ponto (1,0). Notem que o círculo toca a origem e tangencia o eixo y.
Pensemos no semicírculo do qual o tal quarto é metade, sua base é o
diâmetro, sobre o eixo x, que vai da origem, (0,0), até o ponto
(2,0). O ponto central deste diâmetro é (1,0) o centro do
semicírculo de raio 1.
Este diâmetro é a hipotenusa, de comprimento 2, de um triângulo
retângulo que imaginamos inscrito no semicírculo (vide note e também
na foto anexa). Um dos catetos, liga a origem, (0,0), a um ponto
genérico da semicircunferência delimitadora do semicírculo (x,y), o
comprimento deste cateto é a coordenada polar r do ponto (x,y).
Ainda mais, o ângulo entre este cateto e o tal diâmetro é a
coordenada polar theta do ponto (x,y). Temos
r = 2 costheta ao longo da tal semicircunferência (de raio 1,
centrada no ponto (1,0)).
Assim sendo, o quarto de semicírculo pode ser entendido como uma
região que, em polares, pode ser descrita da seguinte forma: theta
varia de zero até pi/4 (vide figura), enquanto que para cada valor
de theta fixo, r varia desde zero até 2costheta. Na integral dupla
em polares devemos primeiro fixar theta e integrar primeiro em r,
entre extremos que dependem de theta. Sempre primeiro na variável
que é limitada pela outra, depois na variável livre. A segunda
integral, de um primeiro resultado que dependerá de theta, deve ser
feita com theta entre 0 e pi/4. A integral dupla em polares fica
portanto da forma
Integrate[Integrate[1, {r, 0, 2costheta}], {theta, 0, pi/4}] =
= Integrate[2costheta, {theta, 0, pi/4}] = 2senpi/4 - 2sen0 =
(2)^(1/2).
Coloquei o soft, verá no note, para executar a integral em
cartesianas, para comparar com polares, mas ele pipocou para as
cartesianas ...para as polares fez quase instantaneamente ...bem,
daí até a gente. Veja como a intervenção humana, com uma troca de
coordenadas, pode evitar o fracasso da máquina. Mais do que nunca
devemos estudar todos sistemas de coordenadas que encontrarmos.
Quanto à figura 13.4.21, vamos utilizar parametrizações, para o
desenho ficar bem parecido com o do texto. Utilizamos as polares,
onde
x = r costheta, y = r sentheta. Para o cilindro, com equação x^2 +
y^2 = 4, colocamos r = 2 para obter a circunferência de raio 2,
x = 2 costheta, y = 2 sentheta ...e arrastamos esta circunferência,
com um segundo parâmetro, z, de zero a dois, para fabricar o
cilindro,
ParametricPlot3D[{2 Cos[theta], 2 Sin[theta], z}, {theta, 0, 2pi},
{z, 0, 2}]
...já para o semicirculo inclinado, primeiro notemos que na figura
está escrito z = x, então a sombra deve ser o semicírculo em que
x>=0, para tanto basta empregar as polares com theta limitado entre
-pi/2 e pi/2 (quarto e primeiro quadrantes) e repetir a coordenada x
na coordenada z, pomos
ParametricPlot3D[{r Cos[theta], r Sin[theta], r Cos[theta]}, {r, 0,
2}, {theta, -pi/2, pi/2}]
...depois juntamos as figuras com o Show.
...para a esfera e para o toro, das outras figuras que perguntou, os
fizemos no note também e sugerimos que dê uma lida na nossa
apostilinha, em
http://www.ime.unicamp.br/~
...lá fala-se bastante sobre superfícies de revolução, explica a
parametrização do toro etc., e para maior familiaridade com esfera,
latitude e longitude, sugerimos as primeiras vinte páginas do nosso
livro, que está em
http://www.editoraunicamp.com.
...descendo na página você tem acesso às vinte primeiras sem
adquirir.
Ah, a outras formas de desenhar tudo ...a esfera, por exemplo, tem
comando pronto, como mostramos no note.
Quanto ao toro, fizemos o desenho da região a ser girada, o círculo
de raio um, e da linha em torno da qual deve ser girada, x = 2.
Também de outra região, o círculo de raio um centrado em x = 4, que
girada em torno da linha x = 2, produziria o mesmo toro ...mas
repetimos, faça as leituras sugeridas, principalmente a da
apostiliha de exemplos em superfícies de revolução, que aproveitará
melhor a figura, que auxilia a deteminar raio maior, raio menor e
translação final para obter o toro do texto.
Saudações. Márcio. PS: acabei de levantar para vocês um subsite
sobre parametrização de superfícies de revolução com coordenadas
cilíndricas, incluindo o toro e outras clique abaixo.
Boa tarde professor, estou com dúvida no exercício 18 (exercício 1 da lista). Estou com dificuldade em integrar a integral dada e plotar a figura . Também estou com dificuldade nas figuras 13.4.21 , 13.4.23 e 13.4.23. O senhor poderia me ajudar ?
Me desculpe tantas dúvidas, estou com bastante dificuldade nessa lista 2. Obrigado.