Opa, errei ...na tal região em polares correspondente ao quarto de círculo do exercicio 18, theta varia de 0 até pi/4, mas r não varia entre 0 e 2costheta, como havia dito, varia entre sectheta e 2costheta (vide figura modificada ...o note também foi corrigido).

 

Assim a integral em polares fica da forma


Integrate[Integrate[1, {r, sectheta, 2costheta}], {theta, 0, pi/4}]] =
= Integrate[2costheta - sectheta, {theta, 0, pi/4}] =
 
= (2)^(1/2) - ArcTanh[1/(2)^(1/2)] (vide soft).
 

 
---------- Forwarded message ---------
From: Márcio Antonio de Faria Rosa <oicram@unicamp.br>
Date: Mon, 20 Apr 2020 at 17:37
Subject: Re: Lista 2
To: guilherme pires <guipp2010@hotmail.com>

 



 
Olá, Guilherme. Vamos ao ex 18 do 13.4 ...é este né?

Bem tem uma integral dupla, uma primeira integral é feita em y, com x fixo. Esta integral é feita entre dois extremos que dependem de x, o extremo inferior é zero, o extremo superior é

Sqrt[2x - x^2] ...inspirados no mathematica Sqrt significa raiz quadrada, né?

Uma observação, completar quadrados volta e meia ajuda muito, dado que

(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1, temos que

2x - x^2 = 1 - (x - 1)^2 e o extremo superior pode ser reescrito como

Sqrt[1 - (x - 1)^2] ...esta forma é mais fácil de entender geometricamente, pois

(x - 1)^2 + y^2 = 1

é a equação de uma circunferência de raio 1, centrada no ponto (1, 0) do plano xy e assim sendo a espressão que aparece no extremo superior é o y escrito em função de x, no arco que forma a metade 'superior' dessa semi-circunferência, quando a variável que y, que entendemos por 'vertical', é positiva.

Ora note que a tal circunferência, centrada em (1, 0), ponto do eixo x, tendo raio igual a um, intercepta o eixo x exatamente nos pontos x = 0 e x = 2, assim sendo a integral dupla

Integrate[Integrate[1/(x^2 + y^2)^(1/2), {y, 0, Sqrt[1 - (x - 1)^2], {x, 1, 2}]

é uma integral feita em um quarto do tal círculo, centrado no (1, 0), com raio 1, formada pela metade à direita do semi-círculo superior, onde x>=1 e y>=0. Esta região pode ser descrita da seguinte forma: x varia entre 1 e 2 ...e para cada valor de x fixo, y varia entre 0 e

Sqrt[1 - (x - 1)^2] = Sqrt[2x - x^2]

...esta descrição basta para desenhar esta região com o RegionPlot (vide note anexo).



Podemos até interpretar a integral dupla como o cáculo do volume do sólido que temos abaixo do gráfico da função

g(x, y) = (x^2 + y^2)^(1/2) e acima do quarto de círculo, que está no plano xy.

Fizemos o desenho da região cujo volume a integral calcularia, com o Plot3D, no note anexo, parece uma picanha ...e também desenhamos com o flexível ParametricPlot3D, a fatia em que fixamos x igual a 1.5, depois juntamos os desenhos. Na integral dupla do exercício, quando fixamos x e integramos em y, calculamos a área A(x) da fatia da picanha, daí basta integrar de novo, daí em x, com x entre 1 e 2, para obter o volume da tal picanha.



Esta integral, estando no 15.4, deve ficar melhor em polares. Para trocar a integral de cartesianas para polares, devemos substituir no integrando x por rcostheta, y por rsentheta e multiplicar o integrando pelo fator de correção r, depois ver como fica a região correspondente no plano hipotético das coordenadas polares.

Bem a primeira parte é fácil, trocando para polares e multiplicando pelo fator de correção, temos o novo integrando,

1/(x^2 + y^2)^(1/2) -> 1/((r costheta)^2 + (r sentheta)^2)^(1/2) vezes r ...e isto dá 1! ...beleza o integrando simplificou muito.

Mas resta uma parte menos fácil, que é ver como a região, isto é, o quarto de círculo fica nas coordenadas polares, que são definidas pelas equações

x = rcostheta, y = rsentheta, portanto r = (x^2 + y^2) etc.,

tal não é muito fácil ...se fosse um quarto de círculo centrado na origem, seria moleza, mas o círculo está centrado fora da origem no ponto (1,0). Notem que o círculo toca a origem e tangencia o eixo y.

Pensemos no semicírculo do qual o tal quarto é metade, sua base é o diâmetro, sobre o eixo x, que vai da origem, (0,0), até o ponto (2,0). O ponto central deste diâmetro é (1,0) o centro do semicírculo de raio 1.

Este diâmetro é a hipotenusa, de comprimento 2, de um triângulo retângulo que imaginamos inscrito no semicírculo (vide note e também na foto anexa). Um dos catetos, liga a origem, (0,0), a um ponto genérico da semicircunferência delimitadora do semicírculo (x,y), o comprimento deste cateto é a coordenada polar r do ponto (x,y).
Ainda mais, o ângulo entre este cateto e o tal diâmetro é a coordenada polar theta do ponto (x,y). Temos

r = 2 costheta ao longo da tal semicircunferência (de raio 1, centrada no ponto (1,0)).

Assim sendo, o quarto de semicírculo pode ser entendido como uma região que, em polares, pode ser descrita da seguinte forma: theta varia de zero até pi/4 (vide figura), enquanto que para cada valor de theta fixo, r varia desde zero até 2costheta. Na integral dupla em polares devemos primeiro fixar theta e integrar primeiro em r, entre extremos que dependem de theta. Sempre primeiro na variável que é limitada pela outra, depois na variável livre. A segunda integral, de um primeiro resultado que dependerá de theta, deve ser feita com theta entre 0 e pi/4. A integral dupla em polares fica portanto da forma

Integrate[Integrate[1, {r, 0, 2costheta}], {theta, 0, pi/4}] =
= Integrate[2costheta, {theta, 0, pi/4}] = 2senpi/4 - 2sen0 = (2)^(1/2).

Coloquei o soft, verá no note, para executar a integral em cartesianas, para comparar com polares, mas ele pipocou para as cartesianas ...para as polares fez quase instantaneamente ...bem, daí até a gente. Veja como a intervenção humana, com uma troca de coordenadas, pode evitar o fracasso da máquina. Mais do que nunca devemos estudar todos sistemas de coordenadas que encontrarmos.

Quanto à figura 13.4.21, vamos utilizar parametrizações, para o desenho ficar bem parecido com o do texto. Utilizamos as polares, onde

x = r costheta, y = r sentheta. Para o cilindro, com equação x^2 + y^2 = 4, colocamos r = 2 para obter a circunferência de raio 2,

x = 2 costheta, y = 2 sentheta ...e arrastamos esta circunferência, com um segundo parâmetro, z, de zero a dois, para fabricar o cilindro,

ParametricPlot3D[{2 Cos[theta], 2 Sin[theta], z}, {theta, 0, 2pi}, {z, 0, 2}]

...já para o semicirculo inclinado, primeiro notemos que na figura está escrito z = x, então a sombra deve ser o semicírculo em que x>=0, para tanto basta empregar as polares com theta limitado entre -pi/2 e pi/2 (quarto e primeiro quadrantes) e repetir a coordenada x na coordenada z, pomos

ParametricPlot3D[{r Cos[theta], r Sin[theta], r Cos[theta]}, {r, 0, 2}, {theta, -pi/2, pi/2}]

...depois juntamos as figuras com o Show.



...para a esfera e para o toro, das outras figuras que perguntou, os fizemos no note também e sugerimos que dê uma lida na nossa apostilinha, em

http://www.ime.unicamp.br/~marcio/ps2020/books/xmples.pdf

...lá fala-se bastante sobre superfícies de revolução, explica a parametrização do toro etc., e para maior familiaridade com esfera, latitude e longitude, sugerimos as primeiras vinte páginas do nosso livro, que está em

http://www.editoraunicamp.com.br/produto_detalhe.asp?id=1217

...descendo na página você tem acesso às vinte primeiras sem adquirir.

Ah, a outras formas de desenhar tudo ...a esfera, por exemplo, tem comando pronto, como mostramos no note.

Quanto ao toro, fizemos o desenho da região a ser girada, o círculo de raio um, e da linha em torno da qual deve ser girada, x = 2. Também de outra região, o círculo de raio um centrado em x = 4, que girada em torno da linha x = 2, produziria o mesmo toro ...mas repetimos, faça as leituras sugeridas, principalmente a da apostiliha de exemplos em superfícies de revolução, que aproveitará melhor a figura, que auxilia a deteminar raio maior, raio menor e translação final para obter o toro do texto.

Saudações. Márcio. PS: acabei de levantar para vocês um subsite sobre parametrização de superfícies de revolução com coordenadas cilíndricas, incluindo o toro e outras clique abaixo.

http://www.ime.unicamp.br/~marcio/ps2020/revols/index.html
 


 
On Mon, 20 Apr 2020 at 14:16, guilherme pires <guipp2010@hotmail.com> wrote:
 
Boa tarde professor, estou com dúvida no exercício 18 (exercício 1 da lista). Estou com dificuldade em integrar a integral dada e plotar a figura . Também estou com dificuldade nas figuras 13.4.21 , 13.4.23 e 13.4.23. O senhor poderia me ajudar ?
Me desculpe tantas dúvidas, estou com bastante dificuldade nessa lista 2. Obrigado.