Olá, Lucca. Vai um notebook com alguns exemplos, correspondentes às explicações abaixo. Também vai anexo uma apostila com exemplos de funções de várias variáveis, que escrevi muitos anos atrás, que discute bastante o problema filosófico: "equação ou parametrização, eis a questão." A apostila também fala de tipos de funções que aparecem no cálculo II. Eu teria falado sobre estas coisas em sala, se estivéssemos em aula, com até mais exemplos que os da apostila, pois hoje temos os softwares e os datashows das cbs.

 

Vamos á questão de construir objetos geométricos. Sempre há duas formas, quase duais, de representar objetos geométricos, equações ou parametrizações.

 

(i) Uma delas é através de sua equação, a esfera de raio 2, centrada na origem tem equação 

x^2 + y^2 + z^2 = 4

o cilindro de raio 1, centrado no eixo z, tem equação

x^2 + y^2 = 1.

 

Esta última equação no caso do cilindro, só depende de duas variáveis, mas diz respeito ao espaço, é a condição que deve obedecer um ponto (xyz) para pertencer ao tal cilindro. A falta da variável z quer dizer que o cilindro tem simetria cilíndrica com relação ao eixo z, ou se preferir, que o valor da coordenada z não influencia no fato do ponto pertencer ou não ao cilindro. Notamos que a mesma equação, escrita no plano, como uma condição para o ponto (xy) pertencer ou não ao conjunto solução, levaria a uma circunferência unitária.

 

Para desenhar esfera e cilindro no espaço xyz, podemos empregar o ContourPlot3D, da seguinte forma

ContourPlot3D[x^2 + y^2 + z^2 == 4, {x,-3,3}, {y,-3,3}, {z,-3,3}, etc.]

ContourPlot3D[x^2 + y^2 + z^2 == 1, {x,-2,2}, {y,-2,2}, {z,-2,2}, etc.]  
 

para desenhar a circunferência de raio um centrada na origem, no plano xy empregamos o ContourPlot, da forma

ContourPlot[x^2 + y^2 + z^2 == 1, {x,-2,2}, {y,-2,2}, etc.],

o ContourPlot serve para desenhar famílias de conjuntos de nível, mas quando colocamos uma equação (com dois sinais de igual) logo após o primeiro dos cochetes, este comando desenha o conjunto solução da equação apenas ...o mesmo ocorre com o ContourPlot3D, mas no espaço.

 

O Plot3D não faz nada além do ContourPlot, pois dizer que 

z = f(x,y) 

dá o gráfico que queremos é o mesmo que dizer que o gráfico é o conjunto solução da equação

z == f(x,y)

e o ContourPlot3D dá maior controle que o Plot3D, dá menos problemas ...em duas dimensões, também ...mas daí, às vezes o Plot é mais natural de usar que o ContourPlot.

 

Uma equação apenas, no espaço xyz, dá superfície, para desenhar curvas no espaço temos que usar duas equações, a curva é vista como intersecção das superfícies correspondentes às duas equações.

 

No mathematica para desenhar curvas, vistas como conjunto solução de um par de equações, uma saída é utilizar o ContourPlot3D para desenhar a superfície correspondente a uma das equações e com o Mesh, fazendo um corte desta superfície pela superfície que corresponde à outra equação, por exemplo, se quizéssemos desenhar a elipse que corresponde, no espaço xyz, ao conjunto de equações

z = y,

x^2 + y^2 = 1,

Poderíamos empregar o ContourPlot3D com o Mesh da seguinte forma (#3 e #1 correspondem a z e x):

ContourPlot3D[ContourPlot3D[x^2 + y^2 + z^2 == 1, {x,-2,2}, {y,-2,2}, {z,-2,2}, MeshFunctions->(#3 - #1 &), Mesh->{{0}}, etc.].

 

Quando definimos os objetos geométricos por equações, podemos pensar que x, y e z as são variáveis de funções que são feitas constantes, através das equações.

 

(ii) O ParametricPlot e o ParametricPlot3D são inspirados na cinemática, no movimento, nas defomrações, nestes comandos x, y e z não são as variáveis, mas são funções de um parâmetro ou dois, dependendo do que pretendemos desenhar.

 

A circunferência trigonométrica está firme nas nossas cabeças desde o ensino médio, sabemos que, na trigonometria contemporânea posterior à do triângulo retângulo, as funções seno e cosseno são as coordenadas de um ponto na circunferência unitária, centrada na origem do plano, escritas em função do ângulo. Assim sendo, 

ParametricPlot[{Cos[t], Sin[t]}, {t, 0, 2 Pi}]

produz a circunferência unitária. Ora, vamos empregar um segundo parâmetro e variar o raio da circunferência entre 1 e 2,

ParametricPlot[{r Cos[t], r Sin[t], {t, 0, 2 Pi}, {r, 1, 2}, etc.]

...obtemos um anel, região do plano, que obedece não a uma equação, mas a uma inequação,

1 <= x^2 + y^2 <= 4,

tal região também poderia ser desenhada diretamente da inequação que a define, com o RegionPlot,

RegionPlot[1 <= x^2 + y^2 <= 4, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, etc.]

 

Bom vamos para o espaço, na parametrização da circunferência trigonométrica, podemos colocar uma terceira coordenada, igual a zero e escrever

ParametricPlot3D[{Cos[t], Sin[t], 0}, {t, 0, 2 Pi}]

e veremos a circunferência colocada lá no espaço, no plano xy que fica dentro do espaço xyz ...é como se tivéssemos colocado o plano dentro do espaço e ao fazer isto tivéssemos carregado a circunferência trigonométrica junto. Mas agora estamos no espaço, que tal deslocar a circunferência na direção z, fabricando um cilindro, vejamos

ParametricPlot3D[{Cos[t], Sin[t], z}, {t, 0, 2 Pi}, {z, -3, 3}, etc.]
 

aqui o z é um segundo parâmetro ...se t movimenta o ponto ao longo da circunferência, z movimenta a circunferência paralelamente ao eixo vertical. Na parametrização t e z variam independentemente gerando um objeto bidimensional no espaço, que é o cilindro.

 

Em vez de mover a circunferência paralelamente ao eixo z, poderíamos movê-la de forma a construir um cilindro torto (se pensamos que z é a vertical), semelhante à torre de Pisa. Para tanto podemos deslocar o centro na direção y, enquanto que a circunferência sobe na direção z, através de

ParametricPlot3D[{Cos[t], 0.3z + Sin[t], z}, {t, 0, 2 Pi}, {z, -3, 3}, etc.].

 

Note que o primeiro cilindro era dado pelas equações paramétricas

x = cost

y = sent

z = z

...e aqui a equação é dada por 

x^2 + y^1 = 1,

na torre de Pisa temos