Olá Pessoal

Nestas notas pretendemos dar algum suporte a vocês, que estão trabalhando na atividade 1, sobre as integrais duplas. Estas integrais, além de calcularem volumes de sólidos sobre regiões planas, servem para calcular massas, cargas, ou outras quantidades distribuídas em regiões, a partir de suas densidades superficiais. No caso de massas temos uma densidade superficial dada, em kg/m2, numa região R (uma placa) do plano. Esta densidade pode ser vista como uma função σ : R ⊂ IR2, (x,y) ∈ IR2 → IR ...o domínio é a tal placa ou região R do plano. Então a integral dupla desta densidade na região R,

∫∫R σ(x,y) dx dy

...seria a massa da região. No caso de cargas a situação é muito semelhante, daí σ poderia ser dada em coulombs por metro quadrado ...e poderia assumir valores negativos. A carga total de uma região pode ser negativa ...e mesmo com σ diferente de zero ponto a ponto, pode ser nula. No caso do cálculo de volumes de sólidos, tudo se passa como no cálculo de massas, com a densidade σ(x,y) trocada por uma altura, apropriadamente definida, de um sólido que se projeta sobre a região R, dada ponto a ponto por h(x,y), que pode ser dada em m = m3/m2 ...metros, que são o quociente de metros cúbicos por metros quadrados. No caso de volumes, muitas vezes, dependendo da forma que o sólido e a região R sejam definidas, deve-se tomar cuidado com sinais ...e por vezes dividir a região R, para ter uma altura h(x,y) sempre positiva.

A tal integral dupla seria a resposta a um problema que calcularia uma quantidade de alguma coisa aditiva numa região do plano, a partir da sua densidade σ, superficial na região. Veremos que esta se reduz a duas integrais simples, cada uma delas associada a uma versão unidimensional deste problema, que é algo como calcular massas ou cargas totais de um fio retilíneo, onde é dada uma densidade linear λ em kg/m ou coulombs por metro. Nesta situação o tal fio retilíneo pode ser visto como um segmento da reta real, o intervalo [a, b], formado pelos pontos com a única coordenada, x, entre a e b ...e a resposta ao problema envolve apenas uma integral simples, uma integral definida na única variável.

Então a densidade linear λ é uma função λ : [a, b] ⊂ IR → IR e seu valor em x0 ∈ [a,b] nos diz a densidade de massa numa vizinhança bem pequena daquele ponto,

   

a massa de um trechinho de fio, de comprimento Δx, centrado no ponto x0, seria aproximadamente Δm = σ(x0) Δx. No caso de cargas, a carga do tal trechinho seria Δq = σ(x0) Δx. No caso do cálculo de áreas de uma região plana definida, sobre o intervalo [a, b], entre o eixo x e o gráfico de uma altura h(x) positiva, seria ΔA = h(x0) Δx.

Bom, nesta situação a tal massa ou carga do fio seria dada por

...a resposta ao problema bidimensional análogo é dado por uma integral dupla

      

e nesta situação a a função de duas variáveis f seria identificada, por exemplo, com uma densidade superficial,

...uma generalização da densidade linear λ(x), que é um campo escalar no intervalo [a,b]. No caso integramos uma função de duas variáveis, σ(x,y), que pode ser vista como um campo escalar definido na região R do plano, que representaria algo como uma placa.

Esta densidade, calculada, num ponto de coordenadas (x0, y0) da placa, daria por exemplo a relação entre massa e área, em kg/m2, num quadradinho próximo deste ponto.

   

Nesta situação, um retângulo pequeno, como lados Δx e Δy teria massa dada por Δm = σ(x0,y0) Δx Δy.

Veremos no que segue que este problema, cuja solução entendemos como uma integral dupla, pode ser resolvido por duas integrais simples. Vamos considerar o caso em que a placa é definida da seguinte forma,

...tal seria uma região do plano, onde a coordenada x fica entre a e b, enquanto que a coordenada y fica entre dois gráficos, de duas funções, y = g(x) e y = h(x), definidas no intervalo x ∈ [a,b], tais que h(x) é sempre maior ou igual a g(x) em tal intervalo.

Nossa estratégia para calcular a massa da placa, será imaginar que é de chumbo, algo assim e que a estamos cortando com um canivete, em tiras verticais ...em seguida, no nosso procedimento imaginado, vamos enrolar cada tira de chumbo fazendo um rolinho ...cada rolinho será colocado num trecho do intervalo [a, b] de forma que uma tira será levada no trecho que do intervalo corresponte a ela. Agindo assim tranformamos a placa num tubinho enrolado que pode ser identificado com um fio, que seria representado pelo próprio intervalo [a, b] ...então visto como um subconjunto do eixo x. Este fio de chumbo enrolado teria a mesma massa da placa.

Veremos que este processo imaginário nos levará ao calculo da massa da placa, que é igual à do fio enrolado, por duas integrais, uma primeira associada ao ato de enrolar as tiras ...esta primeira integral nos permitirá, a partir da densidade superficial da placa, calcular a densidade linear do fio enrolado em que ela se transforma e que tem massa igual à da placa. Uma segunda integral é para, a partir da densidade linear do fio obtida na primeira integral, obter a massa do fio, que corresponde à massa da placa.

Bom, quanto a primeira das integrais, veremos que a densidade linear λ(x) do fio enrolado em que se transformou a placa pode ser obtida a partir da densidade superficial σ(x,y) da seguinte forma

...nesta integral a variável x, fica fixa, sendo vista como um parâmetro. A integral feita em y é portanto vista como uma integral definida em y ...os extremos de integração são fixos, g(x) e h(x) são constantes, pois x é visto como constante. O resultado da integral definida em y não depende de y, ficará dependendo apenas da variável x (vista como parâmetro durante a integração) ...pela argumentação abaixo entenderemos que esta integral em y da densidade superficial σ(x,y) será a densidade linear λ(x) do fio em que se transformou a placa pela ação do corte em tiras dos enrolamentos.

Bom, vamos pensar no enrolamento, a massa de cada tira transforma-se na massa do rolinho correspondente ...bom cada tira pode ser vista como um fio na vertical, para entender o por quê da fórmula acima que determina σ a partir de λ vamos espiar uma faixa típica, daquelas que obtivemos no fatiamento da placa.

Atentamos para a massa do pequeno retângulo destacado acima, de lados Δx e Δy, centrado no ponto (x0, y), consideraremos x0 e Δx fixo, mas y e Δy variáveis. Tal massa vale aproximadamente

... notamos que o quociente entre a massa e Δy, dado que x0 e Δx estão fixos, só depende de y, podemos identificar este quociente com a densidade linear de massa do fio vertical, fio este que identificamos com a faixa... a massa de tal faixa seria então dada pela integral simples.

Nesta identificação de faixa com fio vertical, fixamos x = x0 e Δx ...a identificação será mais precisa à medida que diminuirmos o Δx. O y é variável ao longo do fio vertical e vai desde y = g(x0) até y = h(x0). Notamos da expressão acima, que dá a massa da faixa ou do rolinho equivalente, obtemos a densidade linear do fio em que se transforma a placa.

Para obter então a massa do fio a que se reduziu a placa ...ou a massa da placa, que é a mesma coisa, basta integrar esta densidade linear, λ(x), com x entre a e b.

Bom, finalizando a conversa, para calcular as massas e cargas de, ou volumes sobre uma região plana, temos que fazer duas integrais simples,

...a primeira integral é feita com x fixo, visto como se fosse um parâmetro, tal é portanto uma integral definida em y. O resultado, que depende do parâmetro x, que havia sido fixado na primeira integral, é integrado e seguida em x, com x entre a e b. Tal dupla integração é chamada de fórmula de Fubinni para integrais duplas numa região R, na qual onde a coordenada x fica entre a e b, enquanto que a coordenada y fica entre dois gráficos, de duas funções, y = g(x) e y = h(x), definidas no intervalo x ∈ [a,b], tais que h(x) é sempre maior ou igual a g(x) em tal intervalo. Ora bolas, Newton e Leibnitz sabiam calcular cargas, áreas e volumes muito antes do tal Fubinni ter nascido.

Isto mostra um grande desrespeito a história e à pedagogia, o pior destes desrespeitos é a denominação 'somas de Riemann', pois trezentos anos antes do Cristo o Arquimedes fazia coisa muito parecida com isto.

Ah, quando na região y está entre c e d, enquanto que a x está entre os gráficos x = g(y) e x = h(y), analogamente ao caso discutido acima chegamos a seguinte integral.

Existem regiões em que x não está entre dois gráficos de funções de y, nem y está entre dois gráficos de funções de x, mas quase sempre dá para dividir uma região em pedaços destes tipos, e aplicar a estratégia acima em cada pedaço.

Para certas regiões tanto x está entre dois gráficos de funções de y quanto y está entre dois gráficos de funções de x ...e por vezes, para estas regiões, integrar primeiro numa variável e não na outra torna as integrais muito mais fáceis de serem feitas. Por vezes a escolha mais simples permite que a integral seja feita, de modo contrário nem o computador a faria. Existe um meta-comando, o AbsoluteTiming[ ], no mathematica que calcula o tempo, portanto a dificulade, que o computador leva, para executar um comando. Numa atividade em nosso curso, dado e 2015, empregamos este comando para comparar a diferença de tempo para o computador efetuar as integrais em duas ordens diferentes, nas integrais duplas dos exercícios 15 a 24, que estão na página 90 do Edwards e Penney, que estão ao final do item 15.2. Vejamos os resultados

...em alguns a dificuldade é bem diferente quando trocamos a ordem das integras, neste último, numa das ordens, a resposta do soft é ininteligível ...agradecemos aos que encontarem exemplos deste tipo.