(dica1_exemplo) A figura ao lado foi obtida após os comandos abaixo no estudo de um problema de otimização. Diga o problema estudado e sua solução.
a = ContourPlot[(x - (2/3))(y + (1/4)), {x, -3, 3}, {y, -3, 3}
ContourShading → False, ContourLabels → True,
GridLines → Automatic, Contours → Table[-8 + k, {k, 1, 16}]];
b = RegionPlot[And[-1 £ x £ 2, -(1/3) (x + 1) £ y £ x + 1, y £ 5 - 3 x],
{x, -3, 3}, {y, -3, 3}, PlotPoints → 50, PlotStyle → LightBlue];
Show[a, b]
  
Explique em linhas gerais a estratégia de estudo de problemas de otimização em que superpomos os desenhos gerados por ContourPlot[ ] e RegionPlot[ ]. Quanto à solução, basta indicar e justificar a maneira de calcular os valores numéricos exatos do máximo ou mínimo da função e das coordenadas no ponto em que ocorre, quando seu cálculo for complicado.

Resolução

Volta e meia, em problemas de otimização, queremos achar o máximo e mínimo de g[x, y] com as variáveis x e y restritas a uma região do plano, usualmente definida por um conjunto de desigualdades.

A superposição da região de restrição e das curvas de nível de g, rotuladas!!, dá uma boa percepção visual de quais são os extremos de g. Com o computador e o mouse, que pode ser utilizado para ver coordenadas, isto já resolve o problema aproximadamente ...e aponta para as estratégias que determinariam com mais exatidão o máximo e o mínimo de g.

Os conjuntos de nível de g são desenhados com o ContourPlot[ ], a região de restrição das variáveis com o RegionPlot[ ]. Os dois elementos gráficos são superpostos com o Show[ ]. Espiando o comando inicial mais acima,

a = ContourPlot[(x - (2/3))(y + (1/4)), {x, -3, 3}, {y, -3, 3}
ContourShading → False, ContourLabels → True,
GridLines → Automatic, Contours → Table[-8 + k, {k, 1, 16}]];

vemos que a função a ser otimizada é g[x, y] = (x - (2/3))(y + (1/4)), seus conjuntos de nível são uma família de hipérboles centradas no ponto {2/3, -1/4}. O atípico e importante conjunto de nível dado por g(x, y) = (x - (2/3))(y + (1/4)) = 0 consiste num par de retas, dadas por x = 2/3 e y = -1/4. Este par de retas, que lembra um cone bidimendional serve de assíntota para toda a família de hipérboles. Num sistema de coordenadas uv, centrado em {2/3, -1/4}, com eixos paralelos aos eixos xy, os conjuntos de nível seriam dados por u v = k. O sistema de eixos uv, eixos de simetria reflexiva para todas hipérboles da família, é o próprio conjunto de nível dado por g = 0.

Foram feitas opções no comando para que o domínio não fosse pintado (ContourShading → False), para que os conjuntos de nível fossem rotulados (ContourLabels → True), que aparecessem as retas do sistema cartesiano, como aparecem num papel quadriculado (GridLines → Automatic), e para que fossem desenhados conjuntos de nível com valores especificados, na expressão desta última opção,

Contours → Table[-8 + k, {k, 1, 16}],

foi empregado o comando Table[ ], para produzir uma lista de valores ...a lista {-7, -6, ..., 6, 7, 8}. Vejamos apenas a reposta do ContourPlot[ ].

Hipérboles com rótulos positivos e cada vez maiores quando nos afastamos do ponto {2/3, -1/4} radialmente em direções de primeiro e terceiro quadrantes ...e com rótulos cada vez mais negativos quando afastamos deste ponto radialmente em direções de segundo e quarto quadrantes. Dado que g é contínua, entre cada par de conjuntos de nível de g, com dois rótulos, existem uma infinidade de conjuntos de nível desta função, com valores intermediários entre os dois rótulos.

Bom, vamos agora pensar um pouco na restrição às variáveis. Em problemas práticos quase sempre são restritas. Vemos, a partir do RegionPlot[ ],

b = RegionPlot[And[-1 £ x £ 2, -(1/3) (x + 1) £ y £ x + 1, y £ 5 - 3 x],
{x, -3, 3}, {y, -3, 3}, PlotPoints → 50, PlotStyle → LightBlue];

Que a região é dada pelas desigualdades, que x está entre -1 e 2, y está acima da reta y1 = -(1/3)(x + 1) e abaixo das retas y2 = x + 1 e y3 = 5 - 3x. Portanto a região é um triângulo, com vértices em {-1, 0}, quando y1 = y2, em {1, 2}, quando y2 = y3, em {2, -1}, quando y3 = y1.

A superposição da região de restrição das variáveis com os cojuntos de nível da função a ser otimizada permite visualizarmos os máximos e mínimos.

Vemos imediatamente que o mínimo de g ocorre no ponto {2, -1}, quando g = -1. No seu máximo, g tem valor k, um pouco menor do que 1, no ponto em que o conjunto de nível g = k tangenciar a reta y3 = 5 - 3x. O coeficiente angular desta reta é -3, se efetuamos derivação implícita em x da equação g = (x-2/3)(y+1/4) = k, obtemos que (y+1/4) + (x-2/3) y' = 0. No ponto de tangência y' = -3 e vale a equação da reta, y = 5 - 3x, portanto:

(y + 1/4) + (x - 2/3) y' = 0 ⇒ y + 1/4 + (x - 2/3) (-3) = 0
⇒ 5 - 3x + 1/4 - 3x + 1 = 0 ⇒ x = 29/24, y = 5 - 3x = 11/8.

O máximo de g, com as variáveis restritas à região, é aproximadamente 0,88 ...no ponto {1.21, 1.38}.


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