Parte 2: quatérnios, a generalização quadrimensional

Foram muitas as tentativas de generalizar os complexos para três dimensões, pretendia-se uma estrutura algébrica que efetuasse naturalmente as reflexões, rotações, outras isometrias e similaridades no espaço tridimensional.

A forma pela qual se tentava a generalização, hoje entende-se bem, não era possível, em três dimensões não há uma álgebra com a maioria das propriedades interessantes dos complexos. Mas em quatro dimensões isto é possível e esta alternativa foi encontrada naturalmente. Os quatérnios foram descobertos por Hamilton, se os complexos são identificados com vetores no IR², os quatérnios são identificados com vetores no IR⁴. Escrevemos um quatérnio da forma

  q = q₀ + i q₁ + j q₂ + k q₃ ,  

onde q₀, q₁,q₂ e q₃ são números reais. O conjunto dos quatérnios é por vezes denotado por IH em homenagem a Hamilton. Somamos os quatérnios como se fossem vetores do IR⁴, somando as quatro compontentes. Se nos complexos podemos pensar que {1 , i} corresponde à base canônica de vetores do IR², no caso dos quatérnios, a base canônica do IR⁴ é dada por {1 , i , j , k}. Por exemplo, se  q = 2 + 3 i - 4 j + 2 k  e  q' = 1 - 2 i + 3 j - 1 k ,  então  q + q' = 3 + i - j + k.

Analogamente às partes real e imaginária dos complexos, identificamos duas partes em um quatérnio q, estas são chamadas de parte escalar S(q) e parte vetorial V(q) do quatérnio dado, definidas por

  S(q₀ + i q₁ + j q₂ + k q₃) = q₀ ,
V(q₀ + i q₁ + j q₂ + k q₃) = i q₁ + j q₂ + k q₃.  

Dizemos que o quatérnio q é puramente vetorial quando S(q) = 0 tem parte escalar nula e portanto q = V(q). Chamamos q de puramente escalar quando tem parte vetorial nula, V(q) = 0, então q = S(q). O subespaço vetorial dos quatérnios puramente vetoriais é tridimensional e o dos puramente escalares é unidimensional.

Os quatérnions puramente vetoriais são identificados com os vetores do espaço tridimensional euclideano da nossa percepção. Os quatérnios puramente escalares, apesar de serem vetores, agem como escalares no produto quaterniônico que definiremos mais abaixo. Por isto os quatérnios puramente escalares são identificados com os escalares ou números reais, e a dimensão correspondente à parte escalar de um quatérnio será vista apenas como uma dimensão auxiliar. Assim podemos pensar que o espaço vetorial IR³ foi juntado com o seu corpo escalar IR por conveniência algébrica, formando um espaço vetorial quadrimensional.

Neste espírito empregaremos a seguinte notação, denotando as partes escalar e vetorial de um quatérnio pelas formas minúscula e maiúscula de uma mesma letra, i.e.,   q = a + A, com a = S(q), A = a₁ i + a₂ j + a₃ k = V(q).  

e vemos os quatérnios como somas formais de escalares, habitantes de uma quarta dimensão auxiliar, com vetores usuais do espaço tridimensional. Este ponto de vista nos traz de volta à terceira dimensão, é como se um quatérnio fosse um par de dois elementos, um escalar e um vetor tridimensional.

O produto quaterniônico q₁ q₂ é linear em cada um dos quatérnios envolvidos no produto. Portanto é distributivo com respeito à soma e basta defini-lo entre os elementos da base {1 , i , j , k}. O 1 será o elemento neutro do produto quaterniônico, e os seus múltiplos, que consistem a dimensão auxiliar, ao multiplicar os outros quatérnios o farão da mesma forma que multiplicamos os vetores do IR⁴ por escalares. Entre os elementos da base valem as regras de multiplicação dadas abaixo:

As três unidades imaginárias têm quadrado igual a -1, como a unidade imaginária complexa. Os quatérnios da forma a + b i + 0 j + 0 k,  são multiplicados entre si como se fossem números complexos, assim podemos ver os complexos como um subespaço bidimensional do espaço quadrimensional quaterniônico.

Quando as unidades imaginárias distintas são multiplicadas entre si, tal se dá como no produto vetorial tridimensional que hoje empregamos. Porém, no tempo da descoberta dos quatérnios, o produto vetorial não havia sido inventado. Já havia um tal produto de Grassmann, semelhante ao produto vetorial, mas conceitualmente bem diferente deste último. O produto quaterniônico não é comutativo, pois i j = - j i, nem anti-comutativo, pois i² = - 1 ≠ 0.

Quando escrevemos dois quatérnios  q = a + A e r = b + B  como somas de escalares com vetores, o seu produto quaterniônico pode ser escrito com o emprego de produtos hoje bem conhecidos:

De fato, assim descrito, o produto quaterniônico é reduzido a produtos bem conhecidos dos vetores em três dimensões, além do produto entre as partes escalares, que é o mesmo que o produto entre números reais, resultando em ab, temos:

1. os produtos entre parcelas das partes vetoriais de q e r com mesma direção, estes, dada a regra i² = j² = k² = -1, resultam no negativo do produto escalar das partes vetoriais, - A • B = - { a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃} ,
2. os produtos entre parcelas distintas das partes vetoriais são feitos como o produto vetorial usual, resultando no produto vetorial das partes vetoriais, A x B = (a₃ b₂ - a₂ b₃) i + (a₃ b₁ - a₁ b₃) j + (a₁ b₂ - a₂ b₁) k ,
3. os produtos feitos entre a parte escalar de um e a vetorial do outro, estes são feitos como produtos de vetores tridimensionais por escalares, dando origem a duas parcelas, a B = a b₁ i + a b₂ j + a b₃ k, b A = b a₁ i + b a₂ j + b a₃ k .

Desta forma, o produto quaterniônico, apesar de se dar em quatro dimensões, é composto essencialmente por produtos conhecidos, os produtos de escalar por escalar, vetor por escalar, escalar de vetores e vetorial de vetores do espaço tridimensional usual.

Escrevemos portanto,

  q r = (a + A) (b + B) = {a b - (A • B)} + {a B + b A + A x B} (£)  

e afirmamos que:

1. a parte escalar do produto quaterniônico de q por r é o produto entre as partes escalares mais o negativo do produto escalar entre as partes vetoriais dos quatérnios q e r ,
2. a parte vetorial do produto quaterniônico é a parte escalar do primeiro pela parte vetorial do segundo mais a escalar do segundo pela vetorial do primeiro mais o produto vetorial da parte vetorial do primeiro pela parte vetorial do segundo, ou

  S(q r) = S(q) S(r) - V(q) • V(r) ,
V(q r) = S(q) V(r) + S(r) V(q) + V(q) x V(r) . 

Quando efetuamos o produto de dois quatérnios puramente vetoriais, temos:

  (0 + A) (0 + B) =  - A • B + A x B  ($) 

assim os produtos escalar e vetorial podem ser (e foram várias vezes) definidos como o negativo da parte escalar e a parte vetorial, respectivamente, do produto quaterniônico de dois quatérnios puramente vetoriais. Decorre daí que o produto quaterniônico é anti-comutativo para quatérnios puramente vetoriais ortogonais (quando A • B = 0) e comutativo para quatérnios puramente vetoriais paralelos (quando A x B = 0).

A medida da não comutatividade do produto quaterniônico é dada por q r - r q = 2 A x B, e o produto quaterniônico é em geral não comutativo, porém comuta se os dois quatérnios envolvidos tiverem partes vetoriais paralelas (então A x B = 0).

Os quatérnios puramente vetoriais de parte escalar zero, da forma (0 + n) cuja parte vetorial n é um vetor unitário, i.e., n • n = 1, têm quadrado quaterniônico igual a -1, pois n² = (0 + n) (0 + n) = - n • n + n x n = - 1 + 0 = -1, assim sendo os quatérnios da forma a + b n  são multiplicados como se fossem complexos, tendo como unidade imaginária o versor n em vez de i, pois do fato que o quadrado de n é -1, obtemos (a + b n) ( c + d n) = (a c - b d) + n (a d + b c). Os quatérnios da forma (a + b n) são caracterizados por terem partes vetoriais paralelas e constituem um subespaço bidimensional dentro do espaço quadrimensional quaterniônico denotado por C(n).

O subespaço bidimensional C(n) do espaço quadrimensional quaterniônico é gerado pelo vetor 1 = <1 , 0 , 0 , 0>, diretor do eixo da dimensão escalar e pelo quatérnio puramente vetorial unitário (0 + n) = <0 , a₁ , a₂ , a₃> , com a₁² + a₂² + a₃² = 1 . Para cada vetor unitário do IR³ temos um dos possíveis C(n) que é, com o produto quaterniônico, isomorfo ou algebricamente idêntico aos números complexos.

Notem que  i , j , k  são casos especiais de vetores unitários, que geram os espaços bi-dimensionais dos quatérnios das formas a + i b , a + j b , a + k b , respectivamente.

Notamos que se {n₁ , n₂ , n₃} é uma base ortonormal positivamente orientada no espaço tridimensional usual, pelo exposto acima temos n² = n₂² = n₃² = -1 , além disso,

desta forma o produto quaterniônico segue, em qualquer base ortornormal positivamente orientada do espaço tridimensional usual, mutatis mutandi, as mesmas regras dos produtos entre os elementos da base {i , j , k}.

Definimos de início o produto quaterniônico como sendo um produto linear dos quatérnios envolvidos, linear em cada um deles, para o qual valiam as certas regras multiplicativas dadas pela tabela acima. Primeiro notamos que poderíamos ter empregado qualquer base ortonormal e positivamente orientada {n₁ , n₂ , n₃} do espaço tridimensional usual para fazer a definição e não necessariamente a base canônica {i , j , k}. Ademais, notamos que poderíamos ter definido o produto quaterniônico pela expressão (£) mais acima, desta definição decorreriam a tabela multiplicativa bem como a bi-linearidade.

O produto quaterniônico é associativo...

...assim que entramos com os quatérnios no mathematica, o produto é feito com um duplo asterisco.

Temos a associatividade para o produto quaterniônico em quatro dimensões, apesar da não associatividade do produto vetorial (p.ex., (i x j) x j = k x j = -i ≠ i x (j x j) = 0). O produto dos quatérnios é uma junção dos produtos escalar e vetorial, sua associatividade é a prova de que estes produtos que hoje usamos de forma independente, têm algo em comum, são mais naturalmente vistos como partes do produto quaterniônico. Este foi um dos principais argumentos dos defensores da continuidade do emprego dos quatérnios, quando, em certa época, o seu uso arrefeceu por conta da simplicidade de se trabalhar com os produtos escalar e vetorial independentemente, sem o produto quaterniônico.

Bom... voltando à associatividade, vejamos outras provas feita com menos força bruta do que a mais acima. Uma primeira alternativa é empregar as idéias de algebra linear, isto é, em lembrar que a igualdade (q r) s = q (r s) é linear nos três quatérnios envolvidos, bastando ser verificada para todas as escolhas de q, r e s dentre os elementos da base {1,i,j,k}.

Uma segunda prova da associatividade empregas fórmulas clássicas da álgebra vetoria, ela é por si mesma interessante, vejamos as identidades vetoriais às quais recorre. A primeira identidade para a segunda prova é aquela que escreve o duplo produto vetorial em termos de produtos escalares,

  A x (B x C) = (A • C) B - (A • B) C (*)  

Vamos recordá-la, notamos que A x (B x C) é perpendicular à direção dada por B x C, esta é normal ao subespaço das combinações lineares de B e C. Assim sendo A x (B x C) deve ser também uma combinação linear de B e C.

Escrevemos portanto que A x (B x C) = λ B + μ C, fazendo o produto escalar desta equação por A, obtemos que λ (A • B)+ μ (A • C) = 0. Desta relação concluímos que os vetores bidimensionais < λ , μ> e < A • B , A • C > são ortogonais entre si. Temos, pelo truque dos piratas, que < λ , μ> = k < A • C , - A • B> e A x (B x C) = k{ (A • C) B - (A • B) C }. Resta, para mostrar (*), provar que k=1 e para tanto, por conta da linearidade, basta verificar esta igualdade para uma escolha de vetores.

A partir da identidade vetorial (*) obtemos outra menos comentada nos cursos de GA. Para tanto escrevemos primeiro todas as permutações cíclicas de (*), obtendo:

A x (B x C) = (A • C) B_[3] - (A • B) C_[1],
B x (C x A) = (B • A) C_[1] - (B • C) A_[2],
C x (A x B) = (C • B) A_[2] - (C • A) B_[3],

onde indexamos os termos opostos apenas para ressaltar, pois agora somamos as três identidades e estes pares de termos serão cancelados. A soma leva a chamada identidade de Jacobi,

  A x (B x C) + B x (C x A) + C x (A x B) = 0 (**)   

A identidade de Jacobi pode ser entendida como uma fórmula que dá a medida da não associatividade do produto vetorial tridimensional, pois (**) pode ser reescrita da forma:

  A x (B x C) - (A x B) x C = (C x A) x B  . 

As Álgebras de Lie são espaços vetoriais com um produto bilinear que a cada dois vetores associa um terceiro, semelhante ao produto vetorial tridimensional, sendo anti-simétrico, tipicamente não associativo e valendo a identidade de Jacobi.

As expressões (*) e (**), além de terem uma importância própria, permitem uma prova da associatividade dos quatérnios, que assim decorre da identidade de Jacobi para o produto vetorial (**) e da relação deste produto com o produto escalar (*)... bom, vamos lá...

subtraímos os dois termos e ocorrem 11 cancelamentos, alguns por conta das propriedades cíclicas do produto escalar triplo... e os quatro termos restantes são cancelados por conta de (*) e (**), pois destas decorre que...

A x (B x C) - (A x B) x C = - B x (C x A) - (B • C) A + (A • B) C
...∴ ( q r ) s - q ( r s ) = 0.

... se cometi algum erro nalguma passagem acima, por favor, avisem-me.

Para nossos objetivos, a apresentação dos quatérnios como soma de escalares com vetores no espaço tridimensional é muito boa. Existe uma outra maneira de apresentar os quatérnios, identificado cada quatérnio com um par de números complexos, tal idéia, interessante em física e em várias situações, deriva da seguinte manipulação:

  q = q₀ + i q₁ + j q₂ + k q₃ = (q₀ + i q₁) + (q₂ + i q₃) j,
isto é,
 q = z₁ + z₂ j ,
com z₁ = q₀ + i q₁ e z₂ = q₂ + i q₃ .  

Notamos que no espaço quaterniônico quadrimensional, o plano bidimensional gerado pelos vetores 1 = <1 , 0 , 0 , 0> e i = <0 , 1 , 0 , 0> é constituído pelos pontos da forma (x₀ , x₁ , 0 , 0), enquanto que o plano bidimensional gerado pelos vetores j = <0 , 0 , 1 , 0> e k = <0 , 0 , 0 , 1> é formado pelos pontos da forma (0 , 0 , x₂ , x₃).

Por conseguinte a intersecção destes dois subespaços vetoriais ou planos bidimensionais no espaço quadrimensional é um conjunto unitário, de um só ponto, cujo único elemento é a origem, (0,0,0,0), no IR⁴ estes dois planos interceptam-se em único ponto. Se tentássemos fazer um esquema como os tais planos no espaço tridimensional, a tridimensionalidade nos trairia, o melhor para tal situação é o seguinte esquema abstrato:

Este esquema lembra muito a maneira pela qual obtemos os números complexos a partir de pares de reais. Notamos, dado que j i = - i j, vale a propriedade de passagem j (a + i b) = (a - i b) j, isto é j z = z* j, com esta propriedade mais as regras do produto complexo, podemos fazer qualquer produto quaterniônico. Tomando q = z₁ + z₂ j e r = w₁ + w₂ j, temos:

  q r = (z₁ + z₂ j) (w₁ + w₂ j)
= z₁ w₁ + z₂ j w₂ j + z₁ w₂ j+ z₂ j w₁
= z₁ w₁ + z₂ (w₂)* (j)(j) + z₁ w₂ j + z₂ (w₁)* j
= {z₁ w₁ - z₂ (w₂)*} + {z₁ w₂ + z₂ (w₁)*} j .  

Fizemos acima a prova da associatividade representando os complexos como somas de escalares com vetores para poder conversar sobre a identidade de Jacobi etc... mas talvez fique mais fácil mais fácil provar a associatividade com a representação dos quatérnios como pares de complexos, da forma q = z₁ + z₂ j.

Bom, voltamos à apresentação que escolhemos, escrevendo quatérnios como um escalar mais um vetor.   A conjugação quaterniônica de q = a + A é definida por q* = a - A, chamado de conjugado de q. Uma importante propriedade desta operação   é que a conjugação dá cambalhota no produto quaterniônico, isto é o conjugado do produto é o produto dos conjugados na ordem inversa, (q r)* = r* q*, de fato...

  {(a + A) (b + B)}* = {ab - (A • B) + (a B + b A + A x B)}* =
= a b - (A • B) - (a B + b A + A x B) = a b - (A • B) + (a (-B) + b (-A) + B x A) =
= (b - B)(a - A) = (b + B)* (a + A)*, como foi afirmado.

Efetuando o produto de um quatérnio pelo seu conjugado temos q q* = (a + A) (a - A) = a² + ||A|| ² = a² + a₁² + a₂² + a₃² (notamos que q q* = q* q). 

Define-se módulo de um quatérnio ou norma quaterniônica de maneira natural, |q|= √qq*, temos |q|²= a² + ||A||². A norma quaterniônica coincide com a norma usual do espaço quadrimensional. Um quatérnio tem norma diferente de zero a menos que seja o quatérnio q = 0 e se tem norma diferente de zero, o quociente q* / |q|² serve de inverso multiplicativo tanto à esquerda quanto à direita de q. Escrevemos então 

  q ^-1 = q* / |q|², para  q ≠ 0 ,  

como no caso complexo. Esta propriedade faz dos quatérnios o que os matemáticos chamam de corpo. Este talvez tenha sido o principal motivo para que os complexos fossem generalizados para quatro e não três dimensões. 

Uma propriedade importantíssima é a de que o produto dos módulos é igual ao módulo do produto de dois quatérnios, tal decorre da cambalhota da conjugação, bem como da linearidade e da associatividade do produto quaterniônico, como vemos... 

  |q r|² = (q r) (q r)* = (q r) r* q* = q (r r*) q* = |r|² q q* = |r|² |q|² ⇒ |q r| = |q| |r| (¥).  

Desta propriedade, que já tinham os complexos, decorrerão muitas propriedades interessantes e aplicações dos quatérnios.

Uma de suas conseqüências é muito curiosa, chama-se 'teorema dos quatro quadrados (de Euler)'. Tal afirma que, se dados dois números inteiros que foram obtidos cada um deles como a soma de quatro quadrados de inteiros, o seu produto também pode ser escrito como a soma de quatro quadrados de inteiros.

De fato, se são dadas duas somas de quadrados de inteiros, a² + a₁² + a₂² + a₃² e b² + b₁² + b₂² + b₃², tais podem ser interpretadas como as normas quadradas dos quatérnios q = a₀ + i a₁ + j a₂ + k a₃ e r = b₀ + i b₁ + j b₂ + k b₃, portanto o seu produto é a norma quadrada do produto de q por r, este produto vale

q r = a₀ b₀ - a₁ b₁ - a₂ b₂ - a₃ b₃ + (a₀ b₁ + a₁ b₀ + a₃ b₂ - a₂ b₃) i +...
(a₀ b₂ + a₂ b₀ + a₃ b₁ - a₁ b₃) j + (a₀ b₃ + a₃ b₀ + a₁ b₂ - a₂ b₁) k (¢),  

e a sua norma quadrada é a soma dos quadrados das componentes de q r , que são inteiros, i.e.,

(a² + a₁² + a₂² + a₃²) (b² + b₁² + b₂² + b₃²) = 
(a₀ b₀ - a₁ b₁ - a₂ b₂ - a₃ b₃)² + (a₀ b₁ + a₁ b₀ + a₃ b₂ - a₂ b₃)² +
+ (a₀ b₂ + a₂ b₀ + a₃ b₁ - a₁ b₃)² + (a₀ b₃ + a₃ b₀ + a₁ b₂ - a₂ b₁)² .  

e temos uma fórmula que dá, a partir das duas quádruplas de inteiros, uma quádrupla resultante de inteiros cujos quadrados somados dá exatamente o produto das somas dos quadrados das duas quádruplas dadas  (notem que por causa dos complexos existe um teorema dos dois quadrados e acreditem, por conta dos octônios, um teorema dos oito quadrados). 

Bom, voltemos à geometria, apresentaremos o que se entende por forma polar de um quatérnio. Primeiro façamos algumas considerações, dado o quatérnio q = a + A, fatoramos sua parte vetorial como o produto do seu módulo pelo vetor unitário tridimensional que dá sua direção e sentido, A = ||A|| n.

Dado que |q|² = a² + ||A||², encontramos θ entre 0 e 180° tal que a = |q| cosθ e ||A|| = |q| senθ, tal θ é o ângulo azimutal do quatérnio com relação à dimensão escalar.

A dimensão escalar varia entre -|q| e |q|, enquanto que ||A|| varia de zero até |q|, desta forma é suficiente que θ varie entre 0 e 180°, mas é comum deixar este ângulo variar entre -180° e 180°, tal abuso simplifica algumas manipulações algébricas, tal qual a admissão da coordenada radial negativa simplifica manipulações algébricas com coordenadas polares.

Pelo exposto, q = a + A = a + ||A|| n = |q| (cosθ + n senθ), o que nos dá a forma polar do quatérnio q,

  q = |q| U(n,θ), com
 U(n,θ) = cosθ + n senθ .  

O conjunto dos quatérnios unitários forma uma esfera tridimensional S³ dentro do do espaço quadrimensional quaterniônico, análoga a circunferência trigonométrica unidimensional S¹ dentro do espaço bidimensional dos complexos.

O equador de S³ é a intersecção desta esfera com o hiperplano tridimensional dos quatérnios puramente vetoriais, que identificamos com o espaço tridimensional usual. Tal equador é a esfera bidimensional usual S², formada pelos quatérnios unitários puramente vetoriais, os quais têm ângulo azimutal θ = 90° e expressão da forma U(n,90°) = cos90° + n sen90° = n = a₁i + a₂j + a₃k , com ∑³_i=1 (a_i)² = 1 .

O produto de dois quatérnios unitários resulta em outro quatérnio unitário, cada quatérnio unitário U(n , θ) tem um inverso multiplicativo, U(- n , θ) na esfera S³, da qual o pólo norte, U(0,0) = 1, é o elemento neutro.

A esfera tridimensional, além de sua estrutura geométrica de superfície, tem uma estrutura algébrica de grupo, estas estruturas são compatíveis num certo sentido e por isto dizemos que S³ é um grupo de Lie. A esfera S¹, formada pelos complexos unitários, também é um exemplo de grupo de Lie. Pode-se mostrar que apenas três esferas são grupos de Lie, a faltante é S⁷ e tal se deve à existência dos octônios.

Quando multiplicamos dois quatérnios na forma polar, vimos que o produto dos módulos é o módulo do produto, como no caso dos números complexos (e o mesmo ocorre com os octônios). Temos:

  q r = (|q| U(n , θ)) (|r| U(m , φ)) = (|q| |r|) U(p , ψ)
 com U(p , ψ) = U(n , θ) U(m , φ) 

e quando n = m os quatérnios unitários U(n , θ) e U(n , φ) são complexos unitários no espaço bidimensional C(n) gerado pela base {1 , n}, como comentamos. Tal espaço é isomorfo aos complexos e temos a regra de multiplicação U(n , θ) U(n , φ) = U(n , θ + φ), como vimos para os complexos unitários no tópico anterior.

Para o caso geral, ao calcular o produto de dois quatérnios unitários, devemos fazer o produto contido no lado direito da equação:

  (cosψ + p senψ) = (cosθ + n senθ) (cosφ + m senφ) , 

depois reagrupar o resultado e finalmente colocá-lo na forma que se apresenta o lado esquerdo da equação.Tendo feito isto, encontramos p e ψ (a partir de n, m, φ e θ).

Trabalharemos muito com estes produtos de quatérnios unitários no tópico seguinte, quando faremos aplicações dos quatérnios às rotações e reflexões em três dimensões, bem como à geometria e à trigonometria da esfera bidimensional usual.

Para finalizar este tópico notamos que, com seu produto e soma, os quatérnios formam um anel. Pelo fato de todos os quatérnios não nulos terem um inverso multiplicativo os quatérnios formam um corpo, tal qual os complexos. Foi a busca destas propriedades e das aplicações geométricas que apresentaremos que levou Hamilton à quarta dimensão.

Pode-se mostrar (página 10 de "Matrix Groups", Curtis, Springer, 1979) que é impossível generalizar os complexos para um corpo em três dimensões.

Dizem que Lorde Hamilton teve a idéia de definir o produto quaterniônico num passeio que fez com a Lady Hamilton em Dublin. Deu-se o tal 'insight' no momento exato que passeavam pela ponte que hoje é chamada de "Quaternion Bridge".

Do outro lado da ponte você encontra uma placa comemorativa da grande descoberta, se nosso genial Pelé fez gol de placa, o genial Hamilton dos irlandeses fez definição de placa, a definição dos quatérnios.

Bom, é verdade que, postulando a associatividade do produto, dá para resumir a tabela multiplicativa nesta curta seqüência de igualdades. O seu bloco de notas foi encontrado, espiem abaixo os garranchos do genial Lorde.

Veremos que podemos efetuar transformações geométricas com os quatérnios, incluindo rotações reflexões etc... no espaço tridimensional usual. Neste contexto, este espaço é  identificado com o hiperplano dos quatérnios puramente vetoriais.  

Tais resultados, além de terem sido a primeira ferramenta eficaz para o estudo de rotações tridimensionais, permitem várias aplicações à geometria e à trigonometria da esfera bidimensional usual, como veremos no tópico seguinte.