Simulação de variáveis aleatórias com os métodos de Inversão e Rejeição

Ferramentas

Simulação

Veja a implementação dos métodos de Rejeição e Inversão em Julia, ferramentas poderosas para a simulação de variáveis aleatórias de diversas distribuições de probabilidade..

Autor

Afiliação

Vitor Ribas Perrone

Universidade Estadual de Campinas

Data de Publicação

12 de fevereiro de 2026

Introdução

Em muitos problemas de Estatística e Simulação, surge a necessidade de gerar amostras de distribuições de probabilidade que não estão diretamente implementadas em pacotes prontos. Nesse contexto, os métodos da Inversão e da Rejeição são ferramentas fundamentais, pois permitem construir algoritmos simples e eficientes para esse fim.

Neste post apresentaremos ambos os métodos e daremos exemplos de implementação ideias para pegar e usar.

Método da Inversão

Em primeiro lugar, vamos carregar os pacotes que serão utilizados:

using Distributions
using StatsPlots

O Método da Inversão consiste, basicamente, em aplicar a inversa da função de distribuição acumulada sobre uma amostra de variáveis aleatórias uniformes. Mais detalhes podem ser encontrados neste link.

Podemos definir uma função amostra_inversao() que automatize esse processo. Essa função recebe como argumentos:

n: Tamanho da amostra desejada;
inv_acumulada: Inversa da função de distribuição acumulada da distribuição de interesse.

function amostra_inversao(n, inv_acumulada)
  return amostras = inv_acumulada.(rand(Uniform(0,1), n))
end

amostra_inversao (generic function with 1 method)

Para exemplificar, vamos obter uma amostra de tamanho 1000 da distribuição Exponencial(2). Basta definirmos a inversa da sua acumulada e utilizar a função criada:

inv_exp(x) = log(1 - x)/(-2);
amostras_exponencial = amostra_inversao(1000, inv_exp)

1000-element Vector{Float64}:
 0.7162636586004516
 0.23362229189684883
 0.7769275712962066
 0.6534392047804466
 0.4367840693268625
 0.5733200782273268
 0.11026774022591004
 0.04536942839111509
 0.08568063825850655
 0.0230905198412386
 ⋮
 0.8496533595421486
 0.088497549870055
 0.33127922386395997
 0.0062714504013609215
 0.29479722722589996
 0.18434677620863832
 0.3517994291741801
 0.3816870026331362
 0.06904407400308499

Para verificar que de fato obtivemos uma amostra da distribuição correta, podemos comparar o histograma das amostras com a densidade teórica:

densidade_exponencial(x) = 2*exp(-2*x);
x = range(0, maximum(amostras_exponencial), length = 1000);
histogram(amostras_exponencial, normalize=:pdf, label= "Amostra")

plot!(x, densidade_exponencial.(x), color=:red, label= "Distribuição")

Método da Rejeição

O Método da Rejeição consiste em escolher uma distribuição auxiliar cuja densidade (\(g(x)\)), multiplicada por uma constante C, seja sempre maior ou igual à densidade da distribuição de interesse(\(f(x)\)), ou seja \(f(x) \leq C g(x)\). Uma explicação detalhada pode ser encontrada neste link.

Podemos definir uma função amostra_rejeicao() para esse procedimento. Ela recebe os seguintes argumentos:

n: Tamanho da amostra desejada;
f: Densidade da distribuição de interesse;
g: Densidade da distribuição auxiliar;
amostra_g: Função que gera uma observação da distribuição auxiliar;
C: Constante a ser utilizada.

function amostra_rejeicao(n, f, g, amostra_g, C)
  amostras = Vector{Float64}(undef, n)
  n_amostras = 1
  while n_amostras <= n
    Y = amostra_g()
    U = rand()
    if U <= f(Y)/(C*g(Y))
      amostras[n_amostras] = Y
      n_amostras = n_amostras + 1
    end
  end
  return amostras
end

amostra_rejeicao (generic function with 1 method)

Para exemplificar, vamos obter uma amostra de tamanho 1000 da distribuição Beta(2,2) utilizando como distribuição auxiliar a Uniforme(0,1). Após fazer as contas, a constante \(C\) necessária é 3/2.

\(C = \displaystyle max_{0\leq x \leq 1} \dfrac{f(x)}{g(x)} = max_{0\leq x \leq 1} 6 \times (x - x^2) / 1\). O ponto de máximo acontece em \(x = 1/2\) e f(1/2)/g(1/2) = 3/2.

densidade_beta(x) = 6*(x - x^2); #Beta(2, 2)

densidade_beta (generic function with 1 method)

densidade_uniforme(x) = 1;
amostras_beta = amostra_rejeicao(1000, densidade_beta, densidade_uniforme, rand, 3/2)

1000-element Vector{Float64}:
 0.9383794162282901
 0.8080231892548565
 0.3559616842217317
 0.7120191990173921
 0.8555349671169985
 0.37322122662036317
 0.7752462960292195
 0.7472584632958286
 0.14177554541002357
 0.25336391057040286
 ⋮
 0.2449935273635483
 0.500684502505503
 0.6632273199686185
 0.5481639258176497
 0.8334555174235013
 0.7088198652843193
 0.7070527922216966
 0.33066485034624726
 0.26231317228320195

Assim como no caso anterior, para verificar que de fato obtivemos uma amostra da distribuição correta, podemos comparar o histograma das amostras com a densidade teórica:

x = range(0, 1, length = 1000)

0.0:0.001001001001001001:1.0

histogram(amostras_beta, normalize=:pdf, label= "Amostra")

plot!(x, densidade_beta.(x), color=:red, label= "Distribuição")

Conclusão

Os métodos da Inversão e da Rejeição são estratégias fundamentais para gerar amostras de distribuições arbitrárias quando não dispomos de funções prontas em pacotes estatísticos. Portanto, com essas implementações, passamos a ter ferramentas práticas e flexíveis para simulação, reforçando o poder do Julia como linguagem para Estatística Computacional.

Nota

Ferramentas de IA foram utilizadas para correção ortográfica e aprimoramento do texto.