---
title: "Função de Ligação Modificada"
author: "Paulo Azevedo 150991"
date: "April 12, 2016"
output: pdf_document
---

```{r,message=FALSE}
require(dplyr)
dados<-tbl_df(read.table("turbina.dat",header=TRUE))
dados
```

```{r}
par(mfcol=c(1,2))
plot(dados$ciclos,col=dados$tipo, pch=19)
legend("topleft",c("1","2","3","4","5"),pch=19, col=1:5)
boxplot(ciclos~tipo, data=dados, col="lightblue",pch=19)
```

## Modelo 1 (Função de Ligação Log do R)

$$Y_{ij} \sim ind. \  Gama(\mu_i,\phi) $$
$$i=1,2,\ldots,5 \hbox{  (Tipo de Turbina)} $$
$$j=1,2,\ldots,10 \hbox{  (Turbina - UE, replicação)} $$
$$ \ln \mu_i = \alpha + \beta_i,\beta_1=0 $$
$$\mathbb{E}(Y_ij) = \mu_i $$
$$Var(Y_{ij}) = \mu_i^2 \phi^{-1} $$


```{r}
fit<-glm(ciclos~as.factor(tipo), data=dados,family = Gamma(link="log"))
summary(fit)
```

## Modelo 2 (Função de Ligação Log definida "explicitamente")



$$Y_{ij} \sim ind. \  Gama(\mu_i,\phi) $$
$$i=1,2,\ldots,5 \hbox{  (Tipo de Turbina)} $$
$$j=1,2,\ldots,10 \hbox{  (Turbina - UE, replicação)} $$
$$ \ln \mu_i = \alpha + \beta_i,\beta_1=0 $$
$$\mathbb{E}(Y_ij) = \mu_i $$
$$Var(Y_{ij}) = \mu_i^2 \phi^{-1} $$

Definindo a função de ligação:

$$ \ln \mu_i = \eta_i $$
$$ \mu_i = e^{\eta_i} $$
$$ \frac{\partial \mu_i}{\partial \eta_i} = \frac{\partial e^{\eta_i}}{\partial \eta_i} = e^{\eta_i}$$

```{r}
my_log_link <- function(){
  ##Nome da Funcao de Ligacao
  link <- "my_link_log"
  ##Funcao de ligacao
  linkfun <- function(mu) log(mu)
  ##Inversa da Funcao de ligacao
  linkinv <- function(eta) exp(eta)
  ##derivada de \mu em relacao a \eta
  mu.eta <- function(eta) exp(eta)
  ##eh TRUE se \eta estah no dominio da funcao de ligacao inversa
  valideta <- function(eta) TRUE
  ##Parametros do R, soh copiar e colar
  structure(list(linkfun = linkfun, linkinv = linkinv,
                   mu.eta = mu.eta, valideta = valideta, name = link),
              class = "link-glm")
}

```


```{r}

fit<-glm(ciclos~as.factor(tipo), data=dados,family = Gamma(link=my_log_link()))
summary(fit)
```


Como esperado, os resultados foram idênticos.
