Considere o movimento unidimensional de uma partícula de massas unitária sujeita a um potencial V(x) e a uma força de atrito proporcional a velocidade. A trajetória x(t) da particula obedecerá a equação:

x''(t) + b x'(t) + dV (x(t)) = 0.       (1)
                         dx

b>0. Suponha que V(x) tenha o
seguinte aspecto: 

V(x) possui 3 pontos críticos: dois mínimos locais (A e C) e um máximo local (B). Os pontos de equilíbrio da
equação (1) serão corresponderão, por tanto, e estes pontos.

Questões:

1) Obtenha um potencial V(x) polinomial de grau 2n que tenha estas características. (Escolha os pontos A, B e C
de maneira simétrica).

2) Construa uma função de Lyapunov para a equação (1). Conclua que os pontos A e C correspondem a pontos de equilíbrios assintoticamente estáveis.

3) Construa o espaço de fase para o caso b=0. Identifique as separatrizes que passam pelo ponto B. Faça uma rotina capaz de calcular o período das soluções inteiramente contidas nas regiões internas às separatrizes. Discuta o que ocorre com o periodo de oscilação das soluções que se aproximam das separatrizes.

4) Faça uma rotina capaz de, dadas as condições iniciais, resolver a equação (1) com b positivo arbitrário.

5) Identifique as bacias de atração dos pontos A e C. (Sugestão: a) Mostre que as separatrizes identificadas no
caso b=0 delimitam partes das bacias de atração. b) Escolha uma condição inicial arbitrária: (|x(0)|<Xmax ,| x'(0)|<X'max) e execute sua rotina de solução. Caso a solução penetre na bacia de atração do ponto A, pinte o ponto correspondente a esta condição inicial no espaço de fase de vermelho. Caso a solução tenda ao ponto C, pinte o ponto inical de amarelo. Feito isto com um número considerável de condições iniciais, voce terá uma boa aproximação das bacias de atração na região do espaço de fase limitada por Xmax e X'max.)

6) Compare as bacias de atração para valores distintos de b e de n. Comente.