O problema principal da Geometria de Distˆancias ´e determinar as posicoes de um conjunto de pontos, considerando conhecidas apenas algumas distˆancias entre estes. A defini¸c˜ao formal do Problema de Geometria de Distancias.
Defini¸c˜ao 1. Problema de Geometria de Distancias (PGD). Dado um inteiro positivo K e um grafo simples ponderado e n˜ao direcionado G = (V,E,d), onde d : E → R+, encontre uma func˜ao x : V →RK tal que ∀{u,v}∈ E k xu −xv k= duv. (1) Uma func˜ao x : V → RK ´e dita uma realizac˜ao. Dizemos que uma realizac˜ao ´e valida se esta satisfaz a equac˜ao acima. Entretanto, estamos interessados em uma vers˜ao “discreta” do problema, onde o espaco de busca ´e finito. Defini¸c˜ao 2. Problema Discretizavel de Geometria de Distancias (PDGD3): Considere um grafo G = (V,E,d) de um PGD, com K = 3 e uma ordem em V , denotada por v1,...,vn, tal que: • existe uma realiza¸c˜ao valida para v1,v2,v3, • para todo vi, i = 4,...,n, existem no mınimo tres vertices antecessores ai,bi,ci com {{ai,vi},{bi,vi},{ci,vi}}⊆ E satisfazendo daibi + dbici > daici. Encontre uma func˜ao x : V →R3 tal que ∀{vi,vj}∈ E, k xvi −xvj k= dvivj. Apresentaremos o Problema do Loop fechado e . Resumidamente o problema consiste em encontrar estruturas de um segmentos em uma molecula que sejam geometricamente consistentes com toda a estrutura da molecula. A aplica¸c˜ao que merece destaque deste problema ´e em modelagem por homologia, onde ´e necessario modelar segmentos de inserc˜oes ou exclus˜oes quando o restante da estrutura da molecula ´e bem conhecido. Por fim, vamos propor uma abordagem do Problema do Loop Fechado como um Problema de Geometria de Distancias e os avanc¸os que obtemos com esta abordagem. Referencias [1] Coutsias, Evangelos A., et al. ”A kinematic view of loop closure.”Journal of computational chemistry 25.4 (2004): 510-528. [2] Liberti, Leo, et al. ”Euclidean Distance Geometry and applications.”Siam Review 56.1 (2014): 3-69.