As rotações ilustram bem o que significa "não-comutatividade". Primeiro, vamos considerar as rotações em um plano. Tome um objeto, por exemplo uma caneta. Faça primeiro uma rotação desse objeto por um ângulo de 90° e depois outra por um ângulo de 180°, como ilustra a figura abaixo.

Agora troque a ordem das operações, ou seja, faça primeiro uma rotação por um ângulo de 180° e depois outra por um ângulo de 90°.

Como podemos ver pelas figuras acima, o resultado final é o mesmo. Dizemos nesse caso que as operações acima descritas comutam.

Já com as rotações espaciais as coisas são bem diferentes! Pegue aquela mesma caneta, escolha uma direção espacial e faça uma rotação de 90° no plano ortogonal a essa direção escolhida. Depois escolha uma direção espacial ortogonal àquela escolhida anteriormente e faça uma rotação de 180° no plano ortogonal a ela. Essas operações estão ilustradas abaixo.

Agora troque a ordem das operações, como ilustrado na próxima figura.

Veja! O resultado final agora é diferente! Dizemos nesse caso que essas operações não-comutam.