Uma vez que certamente você sabe o que é "geometria", a questão é saber o que significa "não-comutativa"! Hoje em dia em Matemática a geometria é um ramo muito amplo e com várias sub-áreas de pesquisa. Certamente você se surpreenderia com o que se estuda hoje em Matemática dentro do ramo da geometria! Porém, por mais complicado que seja a estrutura que esteja sendo estudada em geometria, via de regra utilizam-se nesses estudos números reais ou números complexos. Ora, sabemos, por exemplo, que 2·3 = 3·2 = 6. Essa é uma propriedade geral satisfeita para quaisquer números reais ou complexos. Dizemos nesse caso que eles comutam. Dois objetos x e y comutam, portanto, quando x·y = y·x. Por outro lado, dizemos que eles não-comutam se x·y não é igual  a y·x. Enquanto o que poderiamos chamar de geometria comutativa é algo construído sobre objetos que comutam, a geometria não-comutativa é construída sobre objetos que não comutam.

Uma coisa que você deve estar se perguntando é se esses objetos que não-comutam existem? Sim, e temos vários exemplos disso no dia a dia. Um exemplo clássico são as rotações no espaço tridimensional. Você pode se convencer facilmente disso através de uma experiência (clique aqui).

No caso da geometria não-comutativa essa não-comutatividade pode advir de varias fontes. Por exemplo, podemos estar interessados em generalizar a noção de números de modo a incluir casos em que esses números (dentro desse contexto mais geral) não comutam ou então em casos onde hipóteses que levam a comutatividade de certas operações deixam de valer. Para aqueles que já estudaram Cálculo Diferencial e Integral aqui vai um bom exemplo: no curso de Cálculo I todos escrevem indistintamente f(x) dx ou dx f(x), onde, quem já estudou isso, sabe muito bem o que significam esses símbolos. Nesse caso x pode ser pensado como um ponto da reta real e pode assumir valores contínuos. Vamos agora pensar que x pode assumir apenas valores discretos, por exemplo, x = n a, onde n é um número inteiro e "a" é uma constante qualquer (diferente de zero) que não vem ao caso agora. Nesse caso ainda é possível dar um significado ao símbolo dx e escrever coisas como f(x) dx ou dx f(x). Mas isso tem um preço! Nesse caso temos que f(x) dx não é igual a dx f(x). Como lidar com situações como essa mantendo uma analogia com o caso onde essas quantidades comutam é um dos desafios da geometria não-comutativa.

Você também pode estar se perguntando para que serve isso? Pois bem, voltemos aos nossos números do dia a dia, os números reais. Esses números reais podem ser usados, por exemplo, como coordenadas de um ponto. Consideremos agora o que chamamos mecânica clássica - aquela cujos rudimentos qualquer um que prestou vestibular um dia teve que estudar. Toda esta teoria pode ser formulada geometricamente em termos de um espaço chamado espaço de fases. As coordenadas nesse espaço de fase são tais que x·y é igual a y·x. Agora, você já deve ter ouvido falar em mecânica quântica, não? A mecânica quântica certamente foi a maior revolução da Física dentro deste século. Um laser, por exemplo, só existe por causa da mecânica quântica. Assim como a mecânica clássica, a mecânica quântica também pode ser formulada em termos de um espaço de fases. A grande diferença agora é que no caso da mecânica quântica as coordenadas dos pontos no espaço de fases são tais que x·y não é igual a y·x, ou seja, não-comutam. A geometria não-comutativa aparece, entre vários outros casos, como por exemplo uma geometria apropriada para espaços dentro do domínio quântico, por assim dizer. Nesse caso a idéia é utilizá-la não apenas para melhor entendermos essa teoria, como também para buscarmos eventuais generalizações.

Falando dessa forma até pode parecer tudo muito simples, mas não é mesmo! A abstração necessária para levar em consideração casos não-comutativos é muito grande e envolve um "auxílio" de outras áreas da Matemática além da geometria, a saber, a álgebra e a análise. A figura principal nessa linha de pesquisa é Alain Connes, um matemático francês, ganhador da Medalha Fields de 1982. Como a geometria não-comutativa é um ramo relativamente novo e ainda em desenvolvimento, seria precipitados discorrer sobre todas as suas possíveis aplicações. Hoje já está claro que ela é fundamental em todo problema que envolve alguma estrutura discreta (ou seja, não contínua), em teorias sobre a física de altas-energias (como o chamado modelo padrão - aquele dos "quarks"), etc, porém dissertar acerca de todas as suas eventuais aplicações ainda parece um tanto prematuro, pelo menos para mim!

<<  <<