Análise Numérica 

Mestrado em Matemática Aplicada e Computacional (PGMAC)

Disciplina ministrada no primeiro semestre de 2012

Ementa

Análise de erros. Interpolação. Integração numérica. Sistemas lineares. Ortogonalização de sistemas. Problemas de autovalores. Sistemas não-lineares.

Cronograma

1. Análise de Erros
i) Introdução ao GNU Octave,
ii) Aritmética de ponto flutuante,
iii) Análise de erro.

2. Solução de equações por iterações;
i) Método do ponto fixo,
ii) Método de Newton,
iii) Método da Bissecção.

3. Soluções de sistemas de equações lineares;
i) Introdução,
ii) Eliminação de Gauss e a Fatoração LU,
iii) Solução de sistemas de equações lineares,
iv) Normas e número de condição,
v) Método dos quadrados mínimos,
vi) Matriz simétrica e definidas positiva;

4. Resolução de sistemas de equações não-lineares;
i) Introdução,
ii) Método do ponto fixo,
iii) Método de Newton.

5. Autovalores e autovetores;
i) Introdução,
ii) Polinômio Característico,
iii) Teorema de Gerchgorin,
iv) Método de Jacobi,
v) Método QR,
vi) Quociente de Rayleigh.

6. Interpolação Polinomial;
i) Introdução,
ii) Interpolação de Lagrange,
iii) Interpolação de Hermite,
iv) Análise de erros,
v) Interpolação polinomial por partes*,
vi) Splines*.

7. Integração Numérica;
i) Introdução,
ii) Formulas de Newton-Cotes,
iii) Estimativa de erro,
iv) Métodos de extrapolação,
v) Quadratura Gaussiana*,

8. Aproximação de funções*.
i) Introdução,
ii) Espaços normados e espaços com produto interno,
iii) Melhor aproximação,
iv) Polinômios de Chebyshev e polinômios ortogonais.

Os tópicos marcados com * serão abordados somente no final do curso após serem estudados os tópicos de aproximação de função.

Formas e Critérios de Avaliação


Serão aplicadas três provas no decorrer do curso. A Média será calculada através da equação:

Média = (3*P1+4*P2+5*P3)/12,

onde P1, P2 e P3 correspondem as notas da primeira, segunda e terceira prova, respectivamente. O aluno será considerado aprovado se a média for maior ou igual à 7,0. O aluno será reprovado, sem direito a exame, se Média < 3,0. Se 3,0 <= Média < 7,0, então o aluno poderá fazer um exame para recuperar a nota. Nesse caso, a média final (MF) será calculada como segue onde Exame representa a nota que o aluno tirou no exame:
MF = (Média + Exame)/2.

NOTAS DAS PROVAS

Bibliografia

REFERÊNCIAS PRINCIPAL:
REFERÊNCIAS COMPLEMENTARES:
  1. Suli, E. and Mayers, D. An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003.
  2. Dalhquist, G. and Bjorck, A. Numerical Methods in Scientific Computing, vol. I, SIAM, 2008.
  3. Golub, G. and Ortega, J. Scientific Computing and Differential Equations: An Introduction to Numerical Methods, Academic Press, 1992.
  4. Quateroni, A., Sacco, R. and Saleri, F. Numerical Mathematics, Springer, 2000.
  5. Thefethen, L. and Bau III, D. Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.
  6. Heath, M. Scientific Computing: An Introductory Survey. MacGraw-Hill, 1997.
  7. Stoer, J. and Bulirsh, R. Introduction to Numerical Analysis. 3ed, Springer, 2002.
  8. Golub, G. e van Loan, C. Matrix Computations. John Hoptkins University Press, 1993. 
  9. Watkins, D. Fudamentals of Matrix Computations. 2ed, John Wiley and Sons, 2002.
REFERÊNCIAS EM NÍVEL GRADUAÇÃO (Recomendados apenas como introdução ao assunto):
  1. Burden, Richard L.; D. Faires, Análise Numérica, Pioneira Thompson Learning, 2003.
  2. Sperandio, Décio; Mendes, João T.; Silva, Luiz H. M., Cálculo Numérico - Características Matemáticas e Computacionais dos Métodos Numéricos, Pearson/Prentice Hall, 2003.
  3. Franco, Neide Maria Bertoldi, Cálculo Numérico, Prentice Hall, 2006.

Exercícios e Tarefas

Referência Principal, Cap. 1:
Exercícios: 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13 e 14.