Respostas do exercícios ímpares

 

Livro “NOTAS DE GEOMETRIA ANALÍTICA”

(José Mario Martinez)

 

1-     Sugest.: Use a definição de produto escalar  

3-     (2.2): Sugest.: Tente manipular a tese até chegar numa verdade e depois volte seus passos. Prove para o caso em que n = 2 e depois expanda para n qualquer;

(2.3): Sugest.: Aproveitando-se do resultado em (2.2) tente desenvolver usando:

 (i) ||x|| = ||x - y + y|| e (ii) ||y|| = ||y – x + x|| e lembre que ||x - y|| = || y – x|| ;

(2.4): Sugest.: Aproveitando-se do resultado em (2.2) faça as substituições u = x - y  e v = y - z;

(2.5): Sugest.: Desenvolva ||x+y||2 e lembre que <x,y> = 0 quando x e y são ortogonais.

 

5-     Sugest.: Refaça no caderno o desenvolvimento que segue o corolário 2.2 (livro pgs 19 e 20).

 

7-     Sugest.: Use o fato de que sistemas lineares homogêneos são da forma AX = 0, e lembre também de que o produto de matrizes é distributivo (desde que sejam satisfeitas as condições para multiplicação de matrizes!).

 

9-     Sugest.: Desenvolva a igualdade e verifique que ela só vai ser verdadeira se <v,w> = 0, ou seja, se v e w forem ortogonais.

 

11- Tente desenhar uma reta qualquer e um ponto Q fora da reta. Note que um ponto P “livre” na reta pode fornecer um vetor (P-Q) tão grande quanto se desejar, bastando caminhar com P ao longo da reta, mas, quando (P-Q) for ortogonal, a distância será a menor.

 

13.Dist = ,  e

 

15- Use uma idéia similar ao do exercício 11, fixando um ponto da reta L1 e o interpretando como o ponto que está fora da reta L2.

 

17- dist = e  

 

19- Precisa da lista do capítulo 1!!!

 

21-  Vetor normal:   Vetor diretor: .

 

23-  Vetores normais:   Vetor diretor: .

 

25-  Vetor normal:   Vetor diretor: .

 

27.  Vetores normais:   Vetor diretor:  

 

29   

 

31- Esta é a versão no Rn para o exercício 15, lembrando que uma reta é uma variedade afim de dimensão 1.

 

33- Tente mostrar que  e  usando a definição de combinação linear, tanto no teorema quanto no corolário.