| Produção: equipe do projeto PROIN/CAPES 98. | |
| Coordenadora: Vera L.X. Figueiredo | |
| Professoras: Margarida P. Mello e Sandra A. Santos | |
| Alunos: Carlos Eduardo Tibúrcio e Christian de Oliveira Moreira |
Módulo por Carlos Eduardo Tibúrcio & Margarida P. Mello
Neste módulo, vamos empregar o problema do cálculo do capital acumulado num fundo de investimentos como motivação para encontrarmos o valor do número de Euler, uma das constantes com as propriedades mais interessantes da matemática.
Um fundo de investimentos funciona da seguinte forma: o cliente investe um montante de capital, a uma taxa de juros fixada, e escolhe dentre uma série de planos de capitalização. A capitalização é a freqüência com que as taxas de juros atuarão sobre o capital investido, proporcionando os rendimentos. Por exemplo, para as taxas de juros fixadas como anuais, e com capitalização mensal, taxas de 1/12 da anual agirão 12 vezes, incrementando o fundo.
Podemos aplicar os conceitos de progressão geométrica (P.G.) a esse problema. Veja:
Seja K o capital aplicado no início do ano e r a taxa anual de juros. Com capitalização anual o acréscimo de capital ocorre de acordo com o esquema abaixo
se a freqüência de capitalização fosse semestral o esquema seria modificado para
e com capitalização quadrimestral ganharia-se ainda mais dinheiro!!
Observe que, fixado o plano de capitalização, a seqüência de valores de capital acumulado forma uma P.G.
O capital acumulado ao final de doze meses para cada plano de capitalização é dado pela tabela a seguir:
Podemos perceber que a taxa efetiva de rendimento será
,
onde n é
a freqüência de capitalização.
A coluna direita da tabela acima contém
exemplares de uma outra seqüência cujo
n-ésimo
termo é
K.
A expressão 
representa a taxa de rendimento líquido do capital, ou taxa efetiva.
Refazemos agora a tabela anterior acrescentando uma coluna com a relação de taxas efetivas
Fixando o valor de K em 100 e o de r em 0.12 na última tabela, podemos aferir as diferenças entre os planos neste caso.
Note que a seqüência de montantes acumulados é crescente. Além disso, a tabela indica que as diferenças entre termos consecutivos decresce. De fato, é possível mostrar que esta seqüência não explode (você não vai ficar rico aplicando em um fundo com capitalização instantânea!), é o que os matemáticos carinhosamente apelidam de seqüência monótona limitada. Neste caso, está garantida a existência de um valor limite para os montantes acumulados.
Aliás esta seqüência é tão conhecida que o Mathematica já sabe calcular seu limite:
Fazendo k e r iguais a 1 obtemos a seqüência que tende para o número de Euler
O resultado, na verdade, é mais geral: o mesmo limite
é obtido quando n
vai para
e, em ambos os casos (
e ),
n não
precisa estar restrito a valores inteiros.
Estes fatos podem ser visualizados no gráfico
da função
abaixo.
Observamos
que a função realmente tende ao número de Euler quando
a variável independente tende ao infinito, e que o resultado vale
também para 
. A reta
y = E
é uma assíntota da função
,
tanto para 
quanto para . No primeiro caso a função
aproxima-se da assíntota por baixo enquanto que, no segundo,
aproxima-se por cima.