Multiplicadores de Lagrange e Óptica Geométrica

Na Óptica Geométrica vale o Princípio de Fermat: A trajetória do raio que liga dois pontos é aquele que minimiza o tempo de percurso.

O problema que vamos explorar é encontrar o(s) ponto(s) no espelho onde ocorre(m) a reflexão de um raio. Para este problema, ainda vale o Princípio de Fermat, só que, neste caso, há a inclusão de um vínculo.

Matematicamente falando, o problema pode ser descrito como: procuramos os pontos estacionários do seguinte problema de minimização:

Minimizar T(x,y),
sujeito a h(x,y)=0,

O primeiro algoritmo básico para achar o(s) ponto(s) do espelho onde há reflexão é:
Algoritmo I

1. Para cada ponto no espelho: 1) construir os raios auxiliares (em azul) que fazem o trajeto: (fonte)-(ponto no espelho)-(observador); 2) Medir o tempo de percurso sobre cada raio auxiliar;
2. Coletando todos os tempos de percurso, construir a curva verde, chamada curva de tempo de trânsito.
3. Finalmente, achar os pontos estacionários desta curva.

A abordagem correspondente ao primeiro algoritmo é: quando possível, isolar y na restrição
h(x,y)=0, i.e.,

y = f(x),

substituir em T(x,y), gerando uma nova função de uma variãvel t=t(x)=T(x,f(x)), e, finalmente, achar os pontos críticos dessa nova função t(x).

1. Na Figura I.1, S=(0,0) é a fonte e G=(10,0) é o receptor.
2. O espelho esta representado em cinza, e sua expressão matemática é h(x,y)=y+10.
3. As linhas azuis são os raios auxiliares, construídos conforme o passo I do Algoritmo 1, descrito acima.
4. Com auxilio dos raios azuis, a curva verde é construída, conforme passo 2 do Algoritmo I. Essa curva verde mede o tempo de percurso para cada raio auxiliar. Para ver a animação da construção da curva verde, clique na figura.
5. O ponto M é, no espelho, onde ocorre o ponto de mínimo da curva de tempo de percurso. O ponto M é, portanto, o ponto onde ocorre a reflexão.

1. Na Figura I.2, S=(0,0) é a fonte e G=(10,0) é o receptor.
2. O espelho esta representado em cinza, e sua expressão matemática é h(x,y)=y - x/3 + 10.
3. As linhas azuis são os raios auxiliares, construídos conforme o passo I do Algoritmo 1, descrito acima.
4. Com auxilio dos raios azuis, a curva verde é construída, conforme passo II do Algoritmo 1. Essa curva verde mede o tempo de percurso para cada raio auxiliar. Para ver a animação da construção da curva verde, clique na figura.
5. O ponto M é, no espelho, onde ocorre o ponto de mínimo da curva de tempo de percurso. O ponto M é, portanto, o ponto onde ocorre a reflexão.

1. A fonte S esta em (-7,0) e o receptor G est· em (7,0) ;
2. O expressão matemática do espelho é h(x,y)= y + 14 - 1.7*Sin(x/3) -(x/8)^2 ;
3. Existem três pontos estacionários: dois mínimos locais e um máximo local;
4. Cada ponto estacionario é um ponto de reflexão

Outra forma de se resolver o problema é utilizar o Teorema dos Multiplicadores de Lagrange, que diz: Nos problemas de minimização

Minimizar T(x,y),
sujeito a g(x,y)=0,

a grad(T) + b grad(h) =0

Baseado nos resultados do teorema, pode-se considerar um novo algoritmo:
Algoritmo II

1. Para cada constante t₀, construa a curva de nível T(x,y)=t₀ (em azul);
2. Achar os t0 para os quais as curvas de nível, h(x)=0 e T(x,y)=t0 se interceptam de maneira tangencial;
3. Os pontos ondem ocorrem a tangência são pontos estacionários.

Existe ainda uma terceiro modo de se determinar os pontos de reflexao usando o Teorema dos Multiplicadores de Lagrange. Sabemos que nos pontos estacionarios do problema, a equaçãão deve ser satisfeita

a grad(T) + b grad(h) =0

1. para cada ponto xi do refletor h(x)=0, computar o gradiente grad(T) e grad(h);
2. achar os pontos onde os gradientes sao colineares;
3. esses pontos sao pontos estacionarios.