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Módulo por
Rodrigo
Portugal &
Vera L.X.
Figueiredo.
Palavras-chave: Seqüência, limite, indeterminação, fractal. Introdução: Neste módulo você vai aprender a construir o fractal chamado Floco de Neve. Seqüências associadas a esse fractal também são analisadas. |
| Construção | PARTE I |
A construção do floco de neve é iterativa. Uma maneira de se
construí-lo é:1) Construa um triângulo equilátero de lado unitário; 2) Divida cada aresta em três sub-arestas; 3) Rotacione 60 graus no sentido anti-horário cada sub-aresta do meio; 4) volte para o passo (2); |
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| Seqüências | PARTE II | |||||||
Podemos definir quatro seqüências:Nk = Número de arestas na etapa k ; | ||||||||
| Número de arestas | ||||||||
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A cada nova etapa, a aresta da etapa anterior é transformada em quatro
novas arestas. Portanto o numero de arestas da etapa nova é quatro vezes
o numero de arestas da etapa anterior: Nk = 4 Nk-1 = 42Nk-2 = ... = 4kN0 Como o número inicial de arestas é 3, temos queNk = 3 4k Portanto o número total de arestas do Floco de Neve é infinito.
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| Comprimento de uma aresta | ||||||||
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A cada nova etapa, o comprimento de uma aresta é um terço do
comprimento da etapa anterior.
Lk = Lk-1/3 = Lk-2/32 = ... = L0/3k Como o comprimento inicial de uma aresta é 1, temos queLk = 1 /3k = 3-k Portanto o comprimento total de uma aresta do Floco de Neve é zero, isto é:
lim Lk = 0 |
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| Perímetro | ||||||||
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O perímetro da figura em cada etapa é o produto do
número de arestas Nk pelo
comprimento de uma aresta:
Pk=Nk Lk Se tentássemos computar o limite de Pk, quando k vai para infinito, usando a equação acima, chegaríamos a uma indeterminação do tipo0 . oo Entretanto,Pk= 3 4k 3-k = 3 (4/3)k Portanto, quando k->oo , o perímetro também vai para infinito, indicando que o perímetro do Floco de Neve é infinito.
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| Área | ||||||||
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| Resumo | PARTE III | |||||||
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