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Reforma da Previdência e Matemática Financeira

Aposentadoria ou Morte

Previdência Social

 

Nos debates e discussões em torno da Reforma da Previdência proposta pelo atual governo federal no Brasil, vi alguns comentários e apresento uma simples contribuição: os cálculos de uma planilha eletrônica.

Por simplicidade vamos assumir algumas coisas:

  • O salário é genérico, mas vai ser constante durante o período de trabalho e da aposentadoria. Reposições de inflação ficam subentendidas apenas para a manutenção do mesmo poder de compra. Para o nosso exercício, não consideramos isso.
  • Desse salário o trabalhador desembolsa 8% e o empregador outros 8%. Isto é, 16% de contribuição. Vamos assumir implicitamente que todo o recurso vai para o desfruto da aposentadoria do trabalhador no futuro – isto é uma hipótese pouco realista, mas …
  • Vamos calcular a contribuição como sendo um investimento sobre o qual há rendimentos. Vamos usar a mesma taxa de rendimento ao longo de ambos os períodos, tanto de trabalho quanto de aposentadoria. Essa é uma hipótese muito frágil, mas serve para ponderarmos se o sistema é auto sustentável ou não.
  • Todos os cálculos irão usar anos e não meses, até porque os dados são mais estáveis. Assim, o décimo terceiro e talvez férias estão somados no que o trabalhador ganha em um ano.
fração de contribuição anos de contribuições taxa de rendimento anual efetiva quantidade acumulada fração de pensão por aposentadoria quantidade de anos
16% 35 5% 14,45 92% 31,54

No exemplo acima, em 35 anos de contribuição, o trabalhador acumulou, usando a composição de juros fixos de 5%, o valor de 14,45 anos-salários. Por exemplo, se considerar o salário mínimo de R$ 937, esse valor acumulado seria de R$176.030,67, com 13 salários por ano. Continuando na tabela acima, se ao aposentar ele receber 92% do salário que desconta a contribuição individual dos 8% ao INSS. Com isso, o valor acumulado pode ser usufruído de por 31,54 anos. Isto é, com a hipótese de rendimento efetivo de 5% ao longo dos 66,54 anos, essa seria a contabilidade auto sustentável.

Uma mensagem do WhatsApp viralizou usando uma taxa de poupança mensal de  0,68%. Isto é equivalente a 8% ao ano. Nesse caso, teríamos o seguinte:

fração de contribuição anos de contribuições taxa de rendimento anual efetiva quantidade acumulada
16% 35 8% 27,57

Isto é, o acumulado de 27,57 anos-salário, mantida a taxa de 8% ao ano daria para manter o aposentado com 100% de salário sem jamais acabar. Isso porque o rendimento seria superior às retiradas. Para o exemplo do salário mínimo, o montante acumulado seria de R$335.838,56. Claramente a taxa de 8% efetiva, já descontadas as inflações e outros “encargos” por toda a vida é a parte mais frágil desse cálculo.

Se consideramos o crescimento médio do PIB Brasileiro nos últimos 23 anos do Real, de 3% ao ano, temos as seguintes contas:

fração de contribuição anos de contribuições taxa de rendimento anual efetiva quantidade acumulada fração de pensão por aposentadoria quantidade de anos
16% 35 3% 9,67 92% 12,82
16% 40 3% 12,06 92% 16,91
16% 45 3% 14,84 92% 22,37

No primeiro caso de 35 anos de contribuição resultam em 12,82 anos de aposentadoria com os recursos acumulados. Como a expectativa de vida aumentou, a aposentadoria aos 55 anos de idade (começa a trabalhar aos 20 mais 35 anos de trabalho) não seria sustentável de fato. Se o tempo de trabalho passar para 45, e a aposentadoria aos 65 anos, o valor acumulado poderia sustentar a aposentadoria por mais de 22 anos até os 87 anos.

Convém ressaltar que rendimento real tem que ser pago por alguém.

Para quem quiser “brincar” com a planilha (Excel), ela está disponível.  A quantidade acumulada usou a fórmula FV(C2;B2;-A2) que calcula o valor futuro acumulado com contribuições na célula A2 a uma taxa na célula C2 com a quantidade de períodos(anos) da célula B2. E a quantidade de anos usou a fórmula NPER(C2;-E2;D2) que calcula a quantidade de períodos(anos) de retiradas de valor na célula D2, a partir de um valor presente acumulado na célula E2, assumindo rendimentos periódicos sobre o saldo a uma taxa da célula C2.

Esses cálculos não considera outras entradas nem outras saídas para o montante acumulado com vistas à aposentadoria. Há casos de morte precoce que contribuem, mas não usufruem (não sei como funciona as pensões). E há casos de aposentadorias por invalidez que o trabalhador ficou impossibilitado de contribuir o suficiente, mas vai receber a aposentadoria. Os cálculos e os dados são simples. As escolhas são políticas.

Aposentadoria ou Morte

Matemática Financeira Básica e Previdência (Social ou Individual)

Há muitos fatores complicados nas discussões sobre a Previdência Social, aposentadoria, investimentos etc. Uma discussão constante é se a Previdência Social é ou não auto sustentável. Ou vale a pena contratar uma Previdência Privada?

Previdência Social

Aposentadoria inalcançavel

Vamos simplificar as variáveis ao máximo possível. Vamos assumir que um trabalhador trabalhe por N anos, ganhando o mesmo salário anual S e que a cada ano faça uma contribuição que é uma fração f do salário S.
Se não houvesse rendimento algum, é fácil calcular o quanto ele teria acumulado: N * f * S. Por exemplo, se S = R$ 10 mil (por hipótese, é o valor líquido recebido em um ano), e que contribua com f = 10%, por 40 anos, teria acumulado (nessa estimativa sem rendimento algum)  4 * S. E assim, se o trabalhador parasse de trabalhar (e de contribuir) e começasse a “comer” o valor acumulado pelo mesmo valor que recebia enquanto trabalhava, ele teria quatro anos para usufruir o benefício. E depois?

Claro que a hipótese de zero rendimento limitaria muito a aposentadoria. Daí a importância crucial de CRESCIMENTO da economia que promova rendimentos para investimentos que revertam para a aposentadoria.

Assim, vamos assumir que ao longo dos anos haja um rendimento r para as contribuições acumuladas. Esse rendimento deve ser o valor efetivo de rendimento, descontados todos os impostos, inflação etc.

Em assim temos condições de calcular o valor futuro acumulado usando fórmulas que têm em qualquer calculadora avançada ou planilha eletrônica. Por exemplo o Excel (in English) é a fórmula:

FV(r;N; -f*S), r é a taxa, por N períodos, com pagamentos de f*S

Por exemplo: r=2%, N= 40, f= 10%, teremos

FV(2%;40;-10%)*S = 6,04*S

Isto é, seriam acumulados valores equivalentes para seis anos de aposentadoria integral. É um resultado melhor do que obtivemos acima com zero rendimento.

Se a partir daí o trabalhador começar a retirar seus proventos S como pensão de aposentadoria, quantos anos levaria para consumir o valor acumulado  assumindo que os valores não retirados continuam rendendo à mesma taxa r?

Essa pergunta também é respondida por uma fórmula de matemática financeira básica:

N(r;-S;VP), r é a taxa, S é a retirada da pensão, a partir de um valor acumulado no presente VP.

Por exemplo: r=2% e VP é o FV calculado acima, teremos
N(2%;-S;FV)=6,5

Isto é, o trabalhador iria consumir o valor acumulado pelas contribuições de 40 anos em seis anos e meio. Claramente o sistema com essas hipóteses não é auto-sustentável.

Convém ressaltar que os resultados podem mudar muito com a variável da taxa de rendimento r.  Usando a planilha eletrônica podemos fazer muitas simulações e cenários.

Por exemplo:

fração de contribuição quantidade de contribuições taxa de rendimento efetiva quantidade acumulada fração de pensão por aposentadoria quantidade de anos
10% 40 2% 6,04 100% 6,50
10% 45 4% 12,10 80% 23,69
10% 49 3% 10,85 100% 13,33

Na penúltima linha da tabela acima eu calculo a quantidade de anos de aposentadoria com uma pensão equivalente a 80% do salário assumindo uma taxa de rendimento constante de 4% ao longo de todos os anos (quase 60 anos)  e o trabalhador contribuiu 10% de seu salário por 45 anos. Com essas hipóteses ele poderia usufruir da aposentadoria por quase 24 anos.  E na última linha vemos o caso de 49 anos de contribuição (proposta pelo Governo Federal), com uma taxa de rendimentos efetiva de 3% ao longo dos 63 anos com a mesma contribuição de 10% do seu salário dariam 13 anos um 3 meses de aposentadoria integral.

Esses cálculos usam elementos básico de matemática financeira apenas, mas podem ser importantes para avaliarmos propostas de Previdências Privadas, criticarmos racionalmente as propostas de Previdência Social do Governo Federal e também considerarmos possíveis investimentos com vistas a uma vida digna depois que pararmos de trabalhar, se tivermos a felicidade de vida longa.