Arquivo da categoria: Política

Reforma da Previdência e Matemática Financeira

Aposentadoria ou Morte

Previdência Social

 

Nos debates e discussões em torno da Reforma da Previdência proposta pelo atual governo federal no Brasil, vi alguns comentários e apresento uma simples contribuição: os cálculos de uma planilha eletrônica.

Por simplicidade vamos assumir algumas coisas:

  • O salário é genérico, mas vai ser constante durante o período de trabalho e da aposentadoria. Reposições de inflação ficam subentendidas apenas para a manutenção do mesmo poder de compra. Para o nosso exercício, não consideramos isso.
  • Desse salário o trabalhador desembolsa 8% e o empregador outros 8%. Isto é, 16% de contribuição. Vamos assumir implicitamente que todo o recurso vai para o desfruto da aposentadoria do trabalhador no futuro – isto é uma hipótese pouco realista, mas …
  • Vamos calcular a contribuição como sendo um investimento sobre o qual há rendimentos. Vamos usar a mesma taxa de rendimento ao longo de ambos os períodos, tanto de trabalho quanto de aposentadoria. Essa é uma hipótese muito frágil, mas serve para ponderarmos se o sistema é auto sustentável ou não.
  • Todos os cálculos irão usar anos e não meses, até porque os dados são mais estáveis. Assim, o décimo terceiro e talvez férias estão somados no que o trabalhador ganha em um ano.
fração de contribuição anos de contribuições taxa de rendimento anual efetiva quantidade acumulada fração de pensão por aposentadoria quantidade de anos
16% 35 5% 14,45 92% 31,54

No exemplo acima, em 35 anos de contribuição, o trabalhador acumulou, usando a composição de juros fixos de 5%, o valor de 14,45 anos-salários. Por exemplo, se considerar o salário mínimo de R$ 937, esse valor acumulado seria de R$176.030,67, com 13 salários por ano. Continuando na tabela acima, se ao aposentar ele receber 92% do salário que desconta a contribuição individual dos 8% ao INSS. Com isso, o valor acumulado pode ser usufruído de por 31,54 anos. Isto é, com a hipótese de rendimento efetivo de 5% ao longo dos 66,54 anos, essa seria a contabilidade auto sustentável.

Uma mensagem do WhatsApp viralizou usando uma taxa de poupança mensal de  0,68%. Isto é equivalente a 8% ao ano. Nesse caso, teríamos o seguinte:

fração de contribuição anos de contribuições taxa de rendimento anual efetiva quantidade acumulada
16% 35 8% 27,57

Isto é, o acumulado de 27,57 anos-salário, mantida a taxa de 8% ao ano daria para manter o aposentado com 100% de salário sem jamais acabar. Isso porque o rendimento seria superior às retiradas. Para o exemplo do salário mínimo, o montante acumulado seria de R$335.838,56. Claramente a taxa de 8% efetiva, já descontadas as inflações e outros “encargos” por toda a vida é a parte mais frágil desse cálculo.

Se consideramos o crescimento médio do PIB Brasileiro nos últimos 23 anos do Real, de 3% ao ano, temos as seguintes contas:

fração de contribuição anos de contribuições taxa de rendimento anual efetiva quantidade acumulada fração de pensão por aposentadoria quantidade de anos
16% 35 3% 9,67 92% 12,82
16% 40 3% 12,06 92% 16,91
16% 45 3% 14,84 92% 22,37

No primeiro caso de 35 anos de contribuição resultam em 12,82 anos de aposentadoria com os recursos acumulados. Como a expectativa de vida aumentou, a aposentadoria aos 55 anos de idade (começa a trabalhar aos 20 mais 35 anos de trabalho) não seria sustentável de fato. Se o tempo de trabalho passar para 45, e a aposentadoria aos 65 anos, o valor acumulado poderia sustentar a aposentadoria por mais de 22 anos até os 87 anos.

Convém ressaltar que rendimento real tem que ser pago por alguém.

Para quem quiser “brincar” com a planilha (Excel), ela está disponível.  A quantidade acumulada usou a fórmula FV(C2;B2;-A2) que calcula o valor futuro acumulado com contribuições na célula A2 a uma taxa na célula C2 com a quantidade de períodos(anos) da célula B2. E a quantidade de anos usou a fórmula NPER(C2;-E2;D2) que calcula a quantidade de períodos(anos) de retiradas de valor na célula D2, a partir de um valor presente acumulado na célula E2, assumindo rendimentos periódicos sobre o saldo a uma taxa da célula C2.

Esses cálculos não considera outras entradas nem outras saídas para o montante acumulado com vistas à aposentadoria. Há casos de morte precoce que contribuem, mas não usufruem (não sei como funciona as pensões). E há casos de aposentadorias por invalidez que o trabalhador ficou impossibilitado de contribuir o suficiente, mas vai receber a aposentadoria. Os cálculos e os dados são simples. As escolhas são políticas.

Aposentadoria ou Morte

Matemática Financeira Básica e Previdência (Social ou Individual)

Há muitos fatores complicados nas discussões sobre a Previdência Social, aposentadoria, investimentos etc. Uma discussão constante é se a Previdência Social é ou não auto sustentável. Ou vale a pena contratar uma Previdência Privada?

Previdência Social

Aposentadoria inalcançavel

Vamos simplificar as variáveis ao máximo possível. Vamos assumir que um trabalhador trabalhe por N anos, ganhando o mesmo salário anual S e que a cada ano faça uma contribuição que é uma fração f do salário S.
Se não houvesse rendimento algum, é fácil calcular o quanto ele teria acumulado: N * f * S. Por exemplo, se S = R$ 10 mil (por hipótese, é o valor líquido recebido em um ano), e que contribua com f = 10%, por 40 anos, teria acumulado (nessa estimativa sem rendimento algum)  4 * S. E assim, se o trabalhador parasse de trabalhar (e de contribuir) e começasse a “comer” o valor acumulado pelo mesmo valor que recebia enquanto trabalhava, ele teria quatro anos para usufruir o benefício. E depois?

Claro que a hipótese de zero rendimento limitaria muito a aposentadoria. Daí a importância crucial de CRESCIMENTO da economia que promova rendimentos para investimentos que revertam para a aposentadoria.

Assim, vamos assumir que ao longo dos anos haja um rendimento r para as contribuições acumuladas. Esse rendimento deve ser o valor efetivo de rendimento, descontados todos os impostos, inflação etc.

Em assim temos condições de calcular o valor futuro acumulado usando fórmulas que têm em qualquer calculadora avançada ou planilha eletrônica. Por exemplo o Excel (in English) é a fórmula:

FV(r;N; -f*S), r é a taxa, por N períodos, com pagamentos de f*S

Por exemplo: r=2%, N= 40, f= 10%, teremos

FV(2%;40;-10%)*S = 6,04*S

Isto é, seriam acumulados valores equivalentes para seis anos de aposentadoria integral. É um resultado melhor do que obtivemos acima com zero rendimento.

Se a partir daí o trabalhador começar a retirar seus proventos S como pensão de aposentadoria, quantos anos levaria para consumir o valor acumulado  assumindo que os valores não retirados continuam rendendo à mesma taxa r?

Essa pergunta também é respondida por uma fórmula de matemática financeira básica:

N(r;-S;VP), r é a taxa, S é a retirada da pensão, a partir de um valor acumulado no presente VP.

Por exemplo: r=2% e VP é o FV calculado acima, teremos
N(2%;-S;FV)=6,5

Isto é, o trabalhador iria consumir o valor acumulado pelas contribuições de 40 anos em seis anos e meio. Claramente o sistema com essas hipóteses não é auto-sustentável.

Convém ressaltar que os resultados podem mudar muito com a variável da taxa de rendimento r.  Usando a planilha eletrônica podemos fazer muitas simulações e cenários.

Por exemplo:

fração de contribuição quantidade de contribuições taxa de rendimento efetiva quantidade acumulada fração de pensão por aposentadoria quantidade de anos
10% 40 2% 6,04 100% 6,50
10% 45 4% 12,10 80% 23,69
10% 49 3% 10,85 100% 13,33

Na penúltima linha da tabela acima eu calculo a quantidade de anos de aposentadoria com uma pensão equivalente a 80% do salário assumindo uma taxa de rendimento constante de 4% ao longo de todos os anos (quase 60 anos)  e o trabalhador contribuiu 10% de seu salário por 45 anos. Com essas hipóteses ele poderia usufruir da aposentadoria por quase 24 anos.  E na última linha vemos o caso de 49 anos de contribuição (proposta pelo Governo Federal), com uma taxa de rendimentos efetiva de 3% ao longo dos 63 anos com a mesma contribuição de 10% do seu salário dariam 13 anos um 3 meses de aposentadoria integral.

Esses cálculos usam elementos básico de matemática financeira apenas, mas podem ser importantes para avaliarmos propostas de Previdências Privadas, criticarmos racionalmente as propostas de Previdência Social do Governo Federal e também considerarmos possíveis investimentos com vistas a uma vida digna depois que pararmos de trabalhar, se tivermos a felicidade de vida longa.

Marés, Ciclovia e Clima

No feriado Brasileiro de Tiradentes, em 21 de Abril de 2016, uma parte da ciclovia da orla da cidade do Rio de Janeiro caiu em virtude do impacto da massa de água do mar que tirou a passarela de seus suportes e caiu, levando duas pessoas à morte.

Splash de Maré em Ciclovia

Ciclovia Rompida pela Maré

Veja algumas matérias jornalísticas sobre o assunto:

É claro que a Ciclovia não estava preparada para isso, mas era previsível.

A dinâmica das águas nas encostas não é simples, mas já é muito bem conhecida. Sendo bem sucinto, o movimento, alcance e altura das águas na orla do continente (ou nos limites de um grande lago) dependem dos seguintes fatores:

  1. Posição relativa da Lua e do Sol;
  2. Posição geográfica do local;
  3. Perfil do fundo da praia;
  4. Contorno da orla;
  5. Tipo de material na orla, como pedra, areia, com ou sem vegetação;
  6. Velocidade dos ventos e das correntes nas imediações;
  7. Tempestades em alto mar;

Todos que já foram à praia sabem das marés altas e baixas que ocorrem com alguma repetição ao longo dos dias, mas em horários diferentes. Em termos de periodicidade podemos classificar as marés em três tipos:

  1. Semi-diurna;
  2. Diurna;
  3. Mista;

A figura abaixo mostra no mapa mundo quais os tipos predominantes de marés altas (e baixas):

Mapa mundial mostrando onde ocorrem os 3 tipos de marés.

3 tipos de marés

Vou comentar apenas as variáveis relativas à Lua e ao Sol. Vamos usar algumas aproximações. Todos os corpos envolvidos, Terra, Lua e Sol, são esferóides muito similares a uma esfera. Todos os corpos envolvidos têm uma rotação em torno de um eixo, isto é, cada corpo tem momentum angular em relação ao seu eixo.  Eles também  viajam em uma órbita não retilínea no espaço e sendo assim possuem momenta angulares devido à translação no espaço. Finalmente, é importante registrar as distâncias entre os centros de massa.

A quantidade de parâmetros nessa configuração (já simplificada) é enorme:

  • 9 para especificar as posições dos centros de massa
  • 3 para especificar os vetores momenta angular em relação aos seus eixos de cada astro. Para o fenômeno, basta o momentum angular da Terra.
  • 2 para especificar os raios maiores e menores de cada esferóide. Para o estudo da maré em períodos inferiores a um século, basta as raios equatorial e polar da Terra. E muitas vezes usa-se apenas o raio médio.
  • 9 para especificar as velocidades de cada astro – os momenta angular relativo às translações seguem do produto vetorial das posições com as velocidades.

Isto é, o estudo da parte do movimento das marés devido à força gravitacional diferencial envolve pelo menos 21 parâmetros. Claro que muitos desses parâmetros têm pequena importância para o fenômeno. Antecipo que o principal ator para o fenômeno das marés são as força diferenciais ou de maré (tidal force) provocada pela Lua e pelo Sol. As acelerações provocadas em cada caso (e seus valores absolutos médios) são:
\large a_L = \frac{ G M_L}{R_{LT} ^3} \, r \approx 6 \times 10^{-7} \, \frac{m}{s^2}  

\large a_S = \frac{ G M_S}{R_{ST} ^3} \, r \approx 3 \times 10^{-7} \, \frac{m}{s^2}

em que r a distância ao centro da Terra,   R_{LT}  é a distância entre Terra e Lua, e  M_L é a massa da Lua;   R_{ST}  é a distância entre a Terra e o Sol, e  M_S é a massa do Sol. Os valores médios foram obtidos na Planetary Fact Sheet da NASA.

É importante é perceber o comportamento com o inverso do CUBO da distância. E essa aceleração, como um vetor, tem a direção e sentido estabelecidos pela reta que une os centros de gravidade dos corpos envolvidos.  Assim, como essas distâncias e direções variam ao longo das horas, dias e estações, temos variações significativas nos efeitos de maré.

Observe as distâncias relativas, em duas escalas abaixo. A primeira figura contempla o Sol, a Terra e a Lua em um mesmo quadro.

solar_eclipse_model_1

Posições e Tamanhos em escala

E a segunda figura contempla apenas a Lua e a Terra, mas mostra os tamanhos desses astros como pequenos círculos.

E por outro lado, a ilustração abaixo, fora de escala, enfatiza o aumento relativo da maré na qual a penas as forças diferenciais em sentidos opostos estão representadas.

diff_grav1

Esquema, fora de escala, das forças diferenciais de maré

Há várias outras configurações relativas e tudo está em movimento: A terra gira em torno de si com período de 24 horas, a Lua gira em torno da Terra com período próximo a 28 dias, e a Terra (junto com a Lua) orbita em torno do Sol a cada 365,4 dias. A configuração espacial relativa desses três astros se repete a cada 18,3 anos (aproximadamente).

Assim, é importante ter dados medidos de longa data. E a Marinha do Brasil mantém várias estações de medidas e assim fornece tábuas de previsões de marés. A estação que fica na Ilha Fiscal, no Rio de Janeiro, usa 26 harmônicos para construir a tabela de maré e está ativa desde os anos 1960. Lembre-se da simples contagem acima de pelos menos 21 parâmetros.

Aliás, os dados dessa estação estimam a tendência do aumento do nível do mar (medida local) em aproximadamente 2,18 mm/ano com 95% de confiança no intervalo de 1,30 mm/ano para cima ou para baixo, com base no nível médio mensal do mar de 1963 to 2011. Esse é mais um dado apontando as mudanças climáticas.

Gráfico mostra aumento do nível do mar medido na estação da Ilha Fiscal

Tendência de nível do mar no Rio de Janeiro

Voltando ao problema da Ciclovia, observamos a dinâmica das ondas que se quebram no “quebra-mar”. Essas ondas têm mais volume de água e mais potencial destrutor durante as marés altas. E elas são ainda maiores em Luas Cheias ou Novas. E podem ser ainda maiores se a Lua estiver nos seu Perigeo (ponto mais próximo da Terra) e podem ser ainda maiores se a Terra (junto com a Lua) estiver no seu Periélio (ponto da órbita terrestre mais próximo do Sol).

Enfim. Um projeto interessante como esse de uma ciclovia na belíssima orla do Rio de Janeiro tem que contemplar tudo isso e um pouco mais.

 

 

4 ou 3 ?

Como está a Economia? Depende dos incentivo$ ou das preferências partidárias

Como vai a Economia? A resposta em geral vai depender das preferências partidárias ou afinidades com a presidência.  A menos que um incentivo financeiro seja prometido.

É isso que mostram duas pesquisas recentes:

Essas pesquisas envolvem cidadãos americanos questionados sobre as políticas econômicas de partidos e presidentes diferentes e foram resumidas no TheUpshot do The New York TimesHow Is the Economy Doing? It May Depend on Your Party, and $1

A constatação de que a resposta depende das preferências partidárias é muito evidente atualmente em conversas presenciais ou na internet – percebemos em poucas frases a preferência partidária de uma pessoa amiga ou colega. O que é interessante é que as opiniões tendenciosas foram alteradas, nos indivíduos das pesquisas, mediante a promessa de um pequeno incentivo financeiro – as repostas foram mais próximas com os dados reais da economia ou admitia-se não saber.

Eu acho interessante esse tipo de pesquisa, pois, mesmo com todas as suas limitações e o cuidado em não generalizar ou extrapolar a análise, revelam um pouco mais o nosso comportamento social.

Vou colocar como provocação e não como conclusão das pesquisas mencionadas que eu acho que temos opiniões em vários outros assuntos sem muita fundamentação racional, mas com muito preconceito. E essa imparcialidade aparece em indivíduos e em instituições, na minha opinião.

Sendo assim, o exercício que devemos fazer é o de se colocar na posição do outro e pensar na eventual possibilidade (por mais remota que seja) de que estamos errados sobre a posição adotada. Ou então, sendo bem mais honestos, como mostrou a pesquisa, admitirmos que não sabemos com certeza suficiente para opinar com confiança.

4 ou 3 ?

4 ou 3 ? Depende do ponto de vista.

 

ENEM: erros e acertos

O exame nacional de ensino médio (ENEM) teve mais um deslize em 2010. Não bastassem as criticas ideológicas, pedagógicas e politicas, o segundo ano de aplicação do ENEM teve problemas de paginação. A gráfica responsável pelo erro afirmou que apenas 21 mil cadernos amarelos tiveram este problema e explicou, não justificou, que o sigilo exigido dificultou a revisão dos cadernos impressos. Sim, 21 mil é muita gente, mas é pouco em relação a 3,3 milhões.

O caso deve ser investigado, mas o presidente do INEP e o minstro da Educação afirmaram que vão fazer de tudo para não prejudicar os alunos.

No entanto, alguns advogados e pelo menos uma juíza federal querem prejudicar a TODOS os alunos que fizeram a prova: eles pedem cancelamento do exame e usam um argumento abstrato de isonomia para justificarem a ação. Esquecem no entanto outros princípios básicos de justiça: Um erro não justifica outros; O justo não deve pagar pelo pecador.

Alem do mais quem quer a anulação do ENEM não entendeu o formato deste exame, que tem um procedimento estatístico de correção de dificuldades dos itens daquela prova e com isto, as notas relativas das provas de 2010 poderão ser comparadas com outras provas futuras. A nota de um aluno é, em certo sentido, e com uma margem de erro, independe de qual prova o aluno fez. O ENEM usa a metodologia da TRI, teoria de resposta ao item, que se aplica muito bem a provas de múltiplas escolhas com vários itens e com muitos candidatos fazendo cada prova.

Desta forma, é perfeitamente razoável e muito mais justo refazer as provas daqueles que se sentiram prejudicados. O resultado do ENEM é relativo, e assim será dentro de cada prova. Aliás, o ENEM poderia acontecer a cada bimestre, por exemplo. Os alunos poderiam fazer um ENEM e depois fazer outro quando se sentirem mais bem preparados. A nota do aluno vai indicar quanto ele sabe em relação aos outros alunos que fizeram a mesma prova. Considerando uma amostragem razoável e representativa de alunos candidatos em provas distintas, podemos considerar que a nota 657 de uma prova representa essencialmente a mesma coisa que a nota 657 de outra prova.

Estas explicações todas não são suficientes para acalmar um estudante. Temos que lamentar, mas o pior dos mundos seria penalizar 3,3 milhões de alunos por causa de um erro de paginação. A gráfica responsável pode ter comemorado quando ganhou a licitação pública de R$ 65 milhões, mas agora deve estar fazendo as contas para não falir depois disto.

Nos primeiros dias após estes incidentes, a justiça, defensoria pública e a OAB erraram mais do que o INEP. Considero que há condições de acertos ainda para todos. O prego do erro foi cravado. Ele pode ser retirado, mas vai deixar a sua marca. É a vida, cheia de erros e acertos.

UPDATE (16/11/2010): O ministro da Educação usou um argumento interessante para o não cancelamento do ENEM 2010: “.. as 14  edições do ENEM … tiveram algum problema técnico … com uma solução cabível  que não o cancelamento da prova”. O corolário desta afirmação é que, no caso de cancelar o ENEM, a edição substituta vai ter algum erro também, e assim ad infinitum.

Criança só esperança?

O projeto Criança Esperança comemorou neste fim de semana suas bodas de prata com estilo global.

Projeto Criança Esperança - 25 anos

Projeto Criança Esperança - 25 anos

Como diz o cartaz-relatório, em 25 anos, o Criança Esperança desenvolveu cinco mil projetos sociais que atenderam quatro milhões de crianças e adolescentes.

Muito nobre e de apelo indiscutível, mas isto é muito ou é pouco? Uma comparação rápida – os alunos “beneficiados” em escolas públicas no Brasil são da ordem de 50 milhões, todo ano!

Não vi relatórios detalhados dos resultados efetivos na vida destes milhões de “beneficiados” pelo Criança Esperança. Alguns casos de sucesso foram devidamente entrevistados, apareceram em clipes divulgados em horários nobre da TV Globo, mas não encontrei tabelas comparativas.

Não quero ser “estraga-prazer”, mas os números do Criança Esperança não impressionam e os resultados na vida dos jovens beneficiados são questionáveis no seguinte sentido: uma série de fatores aleatórios poderiam reproduzir os sucessos divulgados.

Posso estar errando pelo fato de não ter um relatório preciso de acompanhamento de vida de todos os jovens beneficiados. Aliás, a contabilidade do projeto poderia ser aberta, como forma transparente de gerir os donativos.

Esperar resolver problemas crônicos de educação no país com iniciativas desta classe é ser ingênuo. Não tenho dúvidas que a sociedade (governo ou não) deve oferecer atividades extra classes para complementar a formação das crianças e adolescentes, mas tem sido a educação formal a principal força que diferencia um jovem para a auto-sustentabilidade, a contribuição para a sociedade e a realização pessoal na direção da cidadania plena.

O problema é que a educação no Brasil não é boa, considerando vários medidores internacionais. As escolas públicas regulares estão em situação de desespero. As escolas públicas técnicas e as escolas privadas têm melhores desempenhos, e mesmo assim, nada de muito excepcional.

Por que não uma mobilização ao estilo global pela valorização da escola? Doação para as escolas do bairro, pelas APM? Incentivos financeiros para os professores? Eu sei a resposta para estas perguntas – isto não dá Ibope.

Imagine a seguinte situação fictícia:

O projeto Criança mais que esperança dedicou R$ 8 milhões por ano para garantir que 160 mil estudantes tivessem TODAS as aulas de matemática durante o ano letivo. Para atingir este objetivo, o projeto Criança mais que esperança sorteou Y escolas em situação crítica de professores e pagou o salário de professores preparados para assumirem as aulas de matemática destas escolas.

E isto foi feito por 12 anos. Agora comemoramos os primeiros resultados: 80% dos alunos beneficiados conseguiram posições de trabalho e ou vagas em universidades antes de completarem 19 anos. Em comparação, apenas 30% dos alunos que infelizmente não foram beneficiados obtiveram êxitos similares.

Não seria legal? Acho que sim, mas não dá Ibope.

Fazer apelos com jovens tocando instrumentos, aprendendo alguma atividade artística é fácil. Quero ver meninos e meninas fazendo exercícios de matemática (e acertando), professores satisfeitos por serem entrevistados e valorizados. Infelizmente isto não dá matéria atraente.

E de fato acho que seria chato, mas e se ao lado de cada professor, a Ivete Zangallo cantasse, e se o Zé Zé Di Camargo apresentasse junto com uma sala de aula que aprendeu “regra de três composta”, e se o Lenin fizesse um show ao vivo no pático de uma escola escolhida por algum mérito, e se a Cláudia Leite dançasse com as meninas nota 10 etc acho que ficaria legal. Seria show também.

E valorizaria o que o Brasil precisa: Educação.