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Aposentadoria ou Morte

Matemática Financeira Básica e Previdência (Social ou Individual)

Há muitos fatores complicados nas discussões sobre a Previdência Social, aposentadoria, investimentos etc. Uma discussão constante é se a Previdência Social é ou não auto sustentável. Ou vale a pena contratar uma Previdência Privada?

Previdência Social

Aposentadoria inalcançavel

Vamos simplificar as variáveis ao máximo possível. Vamos assumir que um trabalhador trabalhe por N anos, ganhando o mesmo salário anual S e que a cada ano faça uma contribuição que é uma fração f do salário S.
Se não houvesse rendimento algum, é fácil calcular o quanto ele teria acumulado: N * f * S. Por exemplo, se S = R$ 10 mil (por hipótese, é o valor líquido recebido em um ano), e que contribua com f = 10%, por 40 anos, teria acumulado (nessa estimativa sem rendimento algum)  4 * S. E assim, se o trabalhador parasse de trabalhar (e de contribuir) e começasse a “comer” o valor acumulado pelo mesmo valor que recebia enquanto trabalhava, ele teria quatro anos para usufruir o benefício. E depois?

Claro que a hipótese de zero rendimento limitaria muito a aposentadoria. Daí a importância crucial de CRESCIMENTO da economia que promova rendimentos para investimentos que revertam para a aposentadoria.

Assim, vamos assumir que ao longo dos anos haja um rendimento r para as contribuições acumuladas. Esse rendimento deve ser o valor efetivo de rendimento, descontados todos os impostos, inflação etc.

Em assim temos condições de calcular o valor futuro acumulado usando fórmulas que têm em qualquer calculadora avançada ou planilha eletrônica. Por exemplo o Excel (in English) é a fórmula:

FV(r;N; -f*S), r é a taxa, por N períodos, com pagamentos de f*S

Por exemplo: r=2%, N= 40, f= 10%, teremos

FV(2%;40;-10%)*S = 6,04*S

Isto é, seriam acumulados valores equivalentes para seis anos de aposentadoria integral. É um resultado melhor do que obtivemos acima com zero rendimento.

Se a partir daí o trabalhador começar a retirar seus proventos S como pensão de aposentadoria, quantos anos levaria para consumir o valor acumulado  assumindo que os valores não retirados continuam rendendo à mesma taxa r?

Essa pergunta também é respondida por uma fórmula de matemática financeira básica:

N(r;-S;VP), r é a taxa, S é a retirada da pensão, a partir de um valor acumulado no presente VP.

Por exemplo: r=2% e VP é o FV calculado acima, teremos
N(2%;-S;FV)=6,5

Isto é, o trabalhador iria consumir o valor acumulado pelas contribuições de 40 anos em seis anos e meio. Claramente o sistema com essas hipóteses não é auto-sustentável.

Convém ressaltar que os resultados podem mudar muito com a variável da taxa de rendimento r.  Usando a planilha eletrônica podemos fazer muitas simulações e cenários.

Por exemplo:

fração de contribuição quantidade de contribuições taxa de rendimento efetiva quantidade acumulada fração de pensão por aposentadoria quantidade de anos
10% 40 2% 6,04 100% 6,50
10% 45 4% 12,10 80% 23,69
10% 49 3% 10,85 100% 13,33

Na penúltima linha da tabela acima eu calculo a quantidade de anos de aposentadoria com uma pensão equivalente a 80% do salário assumindo uma taxa de rendimento constante de 4% ao longo de todos os anos (quase 60 anos)  e o trabalhador contribuiu 10% de seu salário por 45 anos. Com essas hipóteses ele poderia usufruir da aposentadoria por quase 24 anos.  E na última linha vemos o caso de 49 anos de contribuição (proposta pelo Governo Federal), com uma taxa de rendimentos efetiva de 3% ao longo dos 63 anos com a mesma contribuição de 10% do seu salário dariam 13 anos um 3 meses de aposentadoria integral.

Esses cálculos usam elementos básico de matemática financeira apenas, mas podem ser importantes para avaliarmos propostas de Previdências Privadas, criticarmos racionalmente as propostas de Previdência Social do Governo Federal e também considerarmos possíveis investimentos com vistas a uma vida digna depois que pararmos de trabalhar, se tivermos a felicidade de vida longa.

Um notório saber que não sabe ensinar

Não é apenas uma noção de senso comum. Há pesquisas e reflexões acadêmicas consolidadas que mostram que o conhecimento específico do conteúdo é necessário mas não suficiente para ensiná lo. Na realidade há competências e habilidades específicas que devem ser aprendidas para que um professor seja minimamente qualificado.

Um exemplo emblemático, bem pontual, mas representativo de que ter notório saber não basta para sequer explicar um assunto, um conteúdo é o matemático japonês Shinichi Mochizuki que diz ter resolvido um problema clássico da Matemática, a conjectura ABC.

A conjectura, isto é, o problema proposto nos anos 1980 é entendido por muitas pessoas. Basta procurar o termo Conjetura ABC.

Mochizuki estudou o problema, desenvolveu nova matemática e escreveu a sua solução em 500 páginas. No entanto, nenhum matemático entendeu completamente o que o Mochizuki escreveu. Assim, fizeram um encontro para que o japonês explicasse para um grupo de matemáticos profissionais. Não deu certo – teve a dificuldade adicional de que o Mochizuki estava no Japão e o grupo de matemáticos estava na Inglaterra, isto é, as apresentações foram por vídeo conferência. Resolveram então fazer uma reunião de trabalho no Japão com o Mochizuki presencialmente.


Mesmo assim, acham que ainda precisam de 3 anos para entender a solução desenvolvida pelo matemático japonês.

O que chamo a atenção é  que o notório saber inquestionável do matemático japonês não foi suficiente para ensinar o conteúdo novo nem mesmo para matemáticos profissionais de alto nível.

Vejam mais informação aqui.

π não é tri

Símbolo para o pi

Símbolo para o pi

O valor do número π (pi)  não é 3. Como todo número irracional, ele não pode ser escrito com um número racional da forma a/b (a dividido por b, onde a e b são naturais) e a sua representação decimal não tem fim.

No parágrafo anterior só há de negações. Então, vamos às afirmações.

π é um número irracional, transcendental que está intimamente relacionado ao círculo.

Um círculo pode ser construído com um compasso.

Um círculo por um compasso

Desenho de um círculo com um compasso

E com uma régua podemos medir a distância da circunferência ao centro (na prática é a abertura do compasso). O perímetro, isto é, o comprimento da circunferência não é imediatamente mensurável com uma régua. É preciso um instrumento que se dobre, como um cordão, e assim podemos medir o perímetro do círculo.

Um experimento que todos devem fazer em algum momento da vida (dentro ou fora da escola) é medir o perímetro e o raio e calcular a divisão do perímetro pelo diâmetro (que é o dobro do raio). E fazer esse procedimento para círculos de vários tamanhos. Seja o círculo grande ou pequeno, com perímetros e diâmetros correspondentes grandes e pequenos, a divisão do perímetro pelo diâmetro é essencialmente (sempre há algum erro nas medidas) a mesma. Com muito mais análise, a humanidade descobriu que o perímetro é proporcional ao diâmetro, e a constante de proporcionalidade é o número π.

Alguém pode dizer, “grande coisa” pois sabemos que há outras figuras planas geométricas nas quais o perímetro é proporcional ao “diâmetro”, basta tomar o cuidado de definir bem as figuras e os conceitos de perímetro e diâmetro. Mais sobre isso na tabela abaixo.

Mas porque algumas vezes considera-se π com o valor 3? É uma aproximação para fazer cálculos mentais ou estimativas grosseiras, mas tanto o valor quanto o significado são bem diferentes. Em termos relativos, o erro é próximo a 5% e assim é aceitável para algumas aplicações. Em termos conceituais, Pi é um número irracional e 3 é um número de contagem Natural.

Observe, por exemplo, um círculo de raio unitário que tem perímetro 2 π (o dobro de pi) Se a dita aproximação é usada, então o perímetro seria 6, que é congruente ao perímetro de um triângulo equilátero de lado 2.

Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de perímetro 6. Ambos concêntricos

Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de perímetro 6. Ambos concêntricos

Já o valor da área do círculo unitário é  π. Se a dita aproximação também é usada para a sua área, ela seria 3, que é a área equivalente à de um triângulo equilátero de lado 2,7, aproximadamente.

Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de área 3. Ambos concêntricos.

Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de área 3. Ambos concêntricos.

Podemos superpor as três figuras para enfatizar que a aproximação para o número π é ambígua e depende da aplicação na qual a aproximação faz algum sentido:

π não é 3. Observe o círculo de raio unitário, um triângulo de perímetro 6 e outro triângulo de área 3.

π não é 3. Observe o círculo de raio unitário, um triângulo de perímetro 6 e outro triângulo de área 3. O trio é concêntrico.

Se em algum cálculo de Matemática Aplicada o π é aproximado por 3, deve-se manter a coerência no uso dos algarismos significativos das demais grandezas ou quantidades envolvidas.

Por exemplo, considere o volume de uma gota de chuva, que tenha o formato aproximado de uma esfera. A medida feita por fotografia de alta precisão fornece o diâmetro (médio) das gotas de chuva de 1,769 mm. O volume de uma esfera de raio R é dado por 4 π R3 /3 (quatro terços de pi vezes R ao cubo). Se a aproximação grosseira de π é feita, não há razão de manter tantas casas decimais, ou melhor, não é coerente utilizar tantos dígitos significativos pois a dita aproximação para π usa apenas um dígito. Nesse caso, para manter a consistência, o raio da gota seria aproximado por 1 mm e o seu volume seria dado por 4 mm3.

Para finalizar, como prometido, nas figuras planas regulares encontramos facilmente que o diâmetro e o perímetro são proporcionais.

Definições:

  • Diâmetro é a maior distância entre dois pontos.
  • Perímetro é o comprimento total da fronteira, isto é, da curva que engloba a região (conexa) da figura (em geometria Euclideana plana).

Com as duas definições acima calculamos o diâmetro, o perímetro e a razão entre ambos para alguns polígonos regulares (de lados e ângulos congruentes).

Polígono Lado Perímetro Diâmetro Perímetro/Diâmetro
Triângulo a 3a a 3
Quadrado a 4a sqrt{2} a 2 sqrt{2} =aprox 2,82
Pentágono a 5a (1+sqrt{5})a/2 5(sqrt{5}-1)/2 =aprox 3,09
Hexágono a 6a 2a 3
Heptágono a 7a csc(π/14)a/2 14 /cosc(π/14) =aprox 3,12
Octógono a 8a csc(π/8) a 8/csc(π/8) =aprox 3,06

ENEM: erros e acertos

O exame nacional de ensino médio (ENEM) teve mais um deslize em 2010. Não bastassem as criticas ideológicas, pedagógicas e politicas, o segundo ano de aplicação do ENEM teve problemas de paginação. A gráfica responsável pelo erro afirmou que apenas 21 mil cadernos amarelos tiveram este problema e explicou, não justificou, que o sigilo exigido dificultou a revisão dos cadernos impressos. Sim, 21 mil é muita gente, mas é pouco em relação a 3,3 milhões.

O caso deve ser investigado, mas o presidente do INEP e o minstro da Educação afirmaram que vão fazer de tudo para não prejudicar os alunos.

No entanto, alguns advogados e pelo menos uma juíza federal querem prejudicar a TODOS os alunos que fizeram a prova: eles pedem cancelamento do exame e usam um argumento abstrato de isonomia para justificarem a ação. Esquecem no entanto outros princípios básicos de justiça: Um erro não justifica outros; O justo não deve pagar pelo pecador.

Alem do mais quem quer a anulação do ENEM não entendeu o formato deste exame, que tem um procedimento estatístico de correção de dificuldades dos itens daquela prova e com isto, as notas relativas das provas de 2010 poderão ser comparadas com outras provas futuras. A nota de um aluno é, em certo sentido, e com uma margem de erro, independe de qual prova o aluno fez. O ENEM usa a metodologia da TRI, teoria de resposta ao item, que se aplica muito bem a provas de múltiplas escolhas com vários itens e com muitos candidatos fazendo cada prova.

Desta forma, é perfeitamente razoável e muito mais justo refazer as provas daqueles que se sentiram prejudicados. O resultado do ENEM é relativo, e assim será dentro de cada prova. Aliás, o ENEM poderia acontecer a cada bimestre, por exemplo. Os alunos poderiam fazer um ENEM e depois fazer outro quando se sentirem mais bem preparados. A nota do aluno vai indicar quanto ele sabe em relação aos outros alunos que fizeram a mesma prova. Considerando uma amostragem razoável e representativa de alunos candidatos em provas distintas, podemos considerar que a nota 657 de uma prova representa essencialmente a mesma coisa que a nota 657 de outra prova.

Estas explicações todas não são suficientes para acalmar um estudante. Temos que lamentar, mas o pior dos mundos seria penalizar 3,3 milhões de alunos por causa de um erro de paginação. A gráfica responsável pode ter comemorado quando ganhou a licitação pública de R$ 65 milhões, mas agora deve estar fazendo as contas para não falir depois disto.

Nos primeiros dias após estes incidentes, a justiça, defensoria pública e a OAB erraram mais do que o INEP. Considero que há condições de acertos ainda para todos. O prego do erro foi cravado. Ele pode ser retirado, mas vai deixar a sua marca. É a vida, cheia de erros e acertos.

UPDATE (16/11/2010): O ministro da Educação usou um argumento interessante para o não cancelamento do ENEM 2010: “.. as 14  edições do ENEM … tiveram algum problema técnico … com uma solução cabível  que não o cancelamento da prova”. O corolário desta afirmação é que, no caso de cancelar o ENEM, a edição substituta vai ter algum erro também, e assim ad infinitum.

Criança só esperança?

O projeto Criança Esperança comemorou neste fim de semana suas bodas de prata com estilo global.

Projeto Criança Esperança - 25 anos

Projeto Criança Esperança - 25 anos

Como diz o cartaz-relatório, em 25 anos, o Criança Esperança desenvolveu cinco mil projetos sociais que atenderam quatro milhões de crianças e adolescentes.

Muito nobre e de apelo indiscutível, mas isto é muito ou é pouco? Uma comparação rápida – os alunos “beneficiados” em escolas públicas no Brasil são da ordem de 50 milhões, todo ano!

Não vi relatórios detalhados dos resultados efetivos na vida destes milhões de “beneficiados” pelo Criança Esperança. Alguns casos de sucesso foram devidamente entrevistados, apareceram em clipes divulgados em horários nobre da TV Globo, mas não encontrei tabelas comparativas.

Não quero ser “estraga-prazer”, mas os números do Criança Esperança não impressionam e os resultados na vida dos jovens beneficiados são questionáveis no seguinte sentido: uma série de fatores aleatórios poderiam reproduzir os sucessos divulgados.

Posso estar errando pelo fato de não ter um relatório preciso de acompanhamento de vida de todos os jovens beneficiados. Aliás, a contabilidade do projeto poderia ser aberta, como forma transparente de gerir os donativos.

Esperar resolver problemas crônicos de educação no país com iniciativas desta classe é ser ingênuo. Não tenho dúvidas que a sociedade (governo ou não) deve oferecer atividades extra classes para complementar a formação das crianças e adolescentes, mas tem sido a educação formal a principal força que diferencia um jovem para a auto-sustentabilidade, a contribuição para a sociedade e a realização pessoal na direção da cidadania plena.

O problema é que a educação no Brasil não é boa, considerando vários medidores internacionais. As escolas públicas regulares estão em situação de desespero. As escolas públicas técnicas e as escolas privadas têm melhores desempenhos, e mesmo assim, nada de muito excepcional.

Por que não uma mobilização ao estilo global pela valorização da escola? Doação para as escolas do bairro, pelas APM? Incentivos financeiros para os professores? Eu sei a resposta para estas perguntas – isto não dá Ibope.

Imagine a seguinte situação fictícia:

O projeto Criança mais que esperança dedicou R$ 8 milhões por ano para garantir que 160 mil estudantes tivessem TODAS as aulas de matemática durante o ano letivo. Para atingir este objetivo, o projeto Criança mais que esperança sorteou Y escolas em situação crítica de professores e pagou o salário de professores preparados para assumirem as aulas de matemática destas escolas.

E isto foi feito por 12 anos. Agora comemoramos os primeiros resultados: 80% dos alunos beneficiados conseguiram posições de trabalho e ou vagas em universidades antes de completarem 19 anos. Em comparação, apenas 30% dos alunos que infelizmente não foram beneficiados obtiveram êxitos similares.

Não seria legal? Acho que sim, mas não dá Ibope.

Fazer apelos com jovens tocando instrumentos, aprendendo alguma atividade artística é fácil. Quero ver meninos e meninas fazendo exercícios de matemática (e acertando), professores satisfeitos por serem entrevistados e valorizados. Infelizmente isto não dá matéria atraente.

E de fato acho que seria chato, mas e se ao lado de cada professor, a Ivete Zangallo cantasse, e se o Zé Zé Di Camargo apresentasse junto com uma sala de aula que aprendeu “regra de três composta”, e se o Lenin fizesse um show ao vivo no pático de uma escola escolhida por algum mérito, e se a Cláudia Leite dançasse com as meninas nota 10 etc acho que ficaria legal. Seria show também.

E valorizaria o que o Brasil precisa: Educação.

Terremotos, desmoronamentos e avalanches.

Uma das perguntas mais frequentes quando acontecem terremotos, como os do Haiti, Chile e Japão recentemente (2010 e 2011), é se os cientistas não conseguem fazer previsões precisas se vai ocorrer um fenômeno destes ou não. A resposta desanimadora é não. Não é possível prever um terremoto ou um desmoronamento como se faz a previsão do tempo e até do clima hoje em dia.

Os terremotos, assim como avalanches, desmoronamentos acontecem com frequencia diferenciadas. Terremotos com alto poder de destruição são raros. Abalos sísmicos imperceptíveis no dia a dia, acontecem aos montes. Apesar de não se poder fazer previsão com datas, podemos estimar as frequêcias relativas de acontecimento.

Quem quiser fazer uma simulação, em nível de ensino médio, veja o experimento abaixo. Os professores de Matemática e Física podem aproveitar a oportunidade para desenvolver esta atividade em sala de aula:

Avalanches

Este experimento propõe modelar matematicamente avalanches provocadas por materiais simples, como milho de pipoca, feijão e um recipiente qualquer. Inicialmente, os alunos produzirão avalanches, verificando suas intensidades pela quantidade de grãos que desmoronam. A partir daí, construirão gráficos com os dados coletados, obtendo uma curva. Aplicando logaritmo torna-se possível analisar a função que modela o fenômeno e até fazer algumas previsões.

Simulação de desmoronamento

Simulação de desmoronamento

A colocação sistemática dos grãos simula o aumento do peso ou a diminuição da resistência em morros e encostas até chegar a um ponto de equilíbrio crítico em que uma nova configuração é favorecida por razões de energia interna, resultando em desmoronamento. O desmoronamento pode ser grande ou pequeno em termos de quantidade de material.

Da mesma forma, as tensões geológicas das placas tectônicas, vão aumentando gradativamente até que um abalo sísmico acontece. O movimento da crosta, isto é, o terremoto pode ser muito intenso ou não.

O experimento mostra como fazer previsões estatísticas, não determinísticas. Confira.