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Computação Geral Matemática

Irracionais e transcendentais: π & e

Todos sabem que a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo é um irracional. Uma estimativa grosseira mas pedagógica é experimentar com um fio ou barbante e uma régua. Use o fio do mouse, por exemplo. Faça o círculo, meça o diâmetro, desfaça o círculo e meça o comprimento. A divisão das duas medidas vai ser um valor um pouco maior que 3. Um valor mais preciso é

π ~ 3,14159265358979

Espero que o seu navegador esteja mostrando o pi com o símbolo correto, π. Por via das dúvidas pi=π.
Usamos dois comprimentos. O do entorno do círculo e o do segmento de reta (de comprimento extremo) que divide a figura em dois semi-círculos iguais.

Imagine um triângulo de lados iguais. Podemos calcular os dois comprimentos equivalentes. O perímetro (soma dos comprimentos dos lados) do triângulo e a sua altura, que é o menor segmento de reta que divide o triângulo em duas figuras semelhantes. Use 3 palitos ou 3 canetas iguais, meça com uma régua e calcule a divisão entre o perímetro e a altura. Você vai obter algo um pouco maior que 3. O valor mais preciso é 3,46410161513775.

A divisão do perímetro de um quadrado por sua diagonal, que é o maior segmento de reta que divide o quadrado em duas figuras semelhantes também é irracional. Use uma régua e experimente. Você vai obter um número um pouco menor que 3. O valor mais preciso é 2,82842712474619.

A experimentação pode continuar com pentágonos, hexágonos etc mas para os nossos propósitos, paramos aqui. Os três exemplos acima são dos seguintes números irracionais:

$latex pi,, 2sqrt{2},,2sqrt{3}$

Por que pi seria diferente dos demais irracionais? Por que ele não é uma solução de uma equação polinomial com coeficientes racionais. Os matemáticos dizem que é transcendental. Assim, pi transcende a classe dos números algébricos. Não tem metafísica (ou tem?).
O objetivo deste artigo era o de divulgar a demonstração de que pi é transcendental. Vale a pena estudar. Envolve um pouco de cálculo diferencial e integral. Veja o Mathematics Weblog ou diretamente o arquivo em pdf. Ao demonstrar que pi é transcendental, fica fácil mostrar que o número e~2.71828182845905 também é.

Terminamos com uma desigualdade interessante:

$latex e^{pi} ge pi^{e}$

Com os recursos computacionais à mão podemos ver a desigualdade com o gráfico da função ln(x)/x. Isto foi apresentado no Jornal do Professor de Matemática (pdf, 654 kb).

Já se conhece o valor de pi com trilhões de casas decimais. Um japonês recitou 100 mil dígitos de cabeça! Apesar de todo este conhecimento, não se sabe se os dígitos de pi são uniformemente distribuídos, isto é, se a freqüência com que cada dígito de 0 a 9 aparece é exatamente 1/10.

Para ler mais sobre os cálculos computacionais de pi, navegue o PiFast site.

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Ensino Geral

Gênio. Não é por acaso!

  • 70% de transpiração
  • 29% de apoio e formação
  • 1% de inspiração

Esta é a matemática do sucesso. Estes números e muitos outros estudos e informações estão no novo compêndio de psicologia e estudos sociais, o Cambridge Handbook of Expertise and Expert Performance. Não é um romance. É um livro onde vários pesquisadores resumem anos e mais anos de pesquisas. Algumas comprovam o senso comum. Outras são surpreendentes. Por US$ 130 (cento e trinta dólares) a Amazon.com manda o volume de 918 páginas! Olhando o preço por página, uns R$0,30 (trinta centavos de Reais), até que não é caro. Mas vou ter que esperar a UNICAMP comprar para a sua biblioteca pois minhas prioridades não justicariam este gasto. No entanto podemos pescar algumas informações.

booklink Amazon Duas resenhas merecem ser comentadas. A do New York Times e a do New Scientist.

A primeira, escrita pelos autores dos Freakonomics e está traduzida na Folha, começa com a particularidade dos aniversários dos jogadores de seleção de futebol: Há muito mais aniversariantes entre Janeiro, Fevereiro e Março do que nos 9 meses restantes. E a explicação é a seguinte: Os bons jogadores foram escolhidos ainda muito jovens e são selecionados ao final do ano. Os “olheiros” ou treinadores escolhem os jogadores para uma faixa etária. Assim, em Dezembro, eles escolhes para a categoria de, digamos 13 anos. Os garotos que vão fazer aniversários (14 anos) nos primeiros meses do ano seguinte terão mais condições físicas do que aqueles que acabaram de completar 13 anos. O compêndio chama a atenção para dois aspectos. Primeiro o fator da auto-estima ao serem escolhidos em uma competição. Segundo o tempo de investimento na carreira até chegar uma seleção de adultos. Quase 10 anos.

A segunda resenha, in English, enfatiza o esforço daqueles que são estrelas. Com vários exemplos e estatísticas, o senso comum de “talento nato” ou algo equivalente é derrubado.

macunaimaBoas novas para nós “pobres mortais”: Podemos superar nossos limites com esforço, dedicação, concentração etc. Más notícias para os macunaímas que gostariam de um lampejo de “genialidade” para uma solução tabajara sem muito esforço.

Precisamos de um ambiente, apoio e formação propícios (29%), mas o resto é conosco. Então, mãos à obra.

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Física

O Zoológico das partículas elementares

A física moderna desenvolveu um modelo padrão para as interações ou forças mais fundamentais. Em última análise a matéria parece ser constituída por duas classes de partículas. Os quarks e os léptons. As interações entre as partículas pode ser quantizada por outras partículas, os bósons, por exemplo o fóton o representante quântico da força eletromgnética que carrega a energia da luz.

Recentemente o laboratório americano Fermilab publicou a experiência em que um quark b (bottom) foi observado em um dois grupos de partículas (não elementares) conhecidas por sigma-b bárion. Esta foi a primeira vez que o quark b foi detectado. A dificuldade da observação reside na sua grande massa de repouso (em relação ao outros quarks).

Um laboratório japonês detectou partículas com os quarks c e s que também são massivos. Assim temos o seguinte quadro. particle zoo O modelo padrão tem sido confirmado com precisão fenomenal. O quadro ainda não está completo, mas a quantidade de previsões teóricas confirmadas experimentalmente é fantástica. Veja por exemplo o texto Elementary Particles Today O livro de divulgação O DISCRETO CHARME DAS PARTÍCULAS ELEMENTARES é uma fonte interessante em português.

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Geral Matemática

Cobrimento de uma superfície

Como cobrir uma esfera com as seguintes exigências: Pouca distorção e pouca costura. A bola oficial para a copa de 2006 usa 14 painéis com contornos curvos. Veja a figura ao lado. Há 6 figuras tipo 8 coladas ou costuradas com outras 8 figuras complementares.

A bola oficial em outros campeonatos tem 32 painéis: 12 pentágonos (painéis pretos na ilustração), 20 hexágonos, costurados nas 90 arestas, e 60 nós (ou vértices). É um icosaedro truncado. No entanto, ambas as bolas continuam tendo nós onde 3 arestas terminam.
Tudo isto nos lembra dos sólidos de Platão que têm superfícies fechadas por polígonos regulares e congruentes e tais que o mesmo número de faces se encontram em cada vértice. O cubo é o exemplo mais conhecido (6 quadrados, 12 arestas e 8 vértices). Para a superfície do sólido se aproximar à de uma esfera, o ideal é ter painéis pequenos. Mas isto implica muitos painéis e costuras.
O novo modelo de bola da Adidas tem outras características de alta tecnologia. Mas em termos apenas de faces e vértices contamos 14 faces, 36 costuras e 24 nós. Um dos sólidos de Arquimedes de características parecidas, o octaedro truncado que tem 6 quadrados e 8 hexágonos. Veja figura verde.

Veja a história da bola de futebol (in English), os sólidos de Platão e de Arquimedes.

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Astronomia Física

Somos os restos nucleares de uma estrela morta

A astrofísica e a cosmologia modernas dizem que os elementos químicos mais simples e mais leves, aqueles da parte superior da tabela periódica, Hidrogênio, um pouco de Hélio e quase nada de Lítio foram criados no Universo nos seus primórdios logo após o Big Bang. Os demais elementos são criados nos processos de combustão nuclear das estrelas. Quando o interior de uma estrela implode e depois explode, estes elementos químicos são liberados para a vizinhança do que sobrou da estrela. Aí, aparecem os planetas e eventualmente a vida! Mas havia detalhes das previsões teóricas que diferia de algumas observações. Agora, com os anti-neutrinos entrando na computação da formação dos elementos pesados, vários problemas foram resolvidos. Os cálculos envolvidos devem ser feitos com modelos complicados que envolvem convecção térmica, reações nucleares e física de partículas elementares.
Veja o resumo A New Way to Make Elements com a bela ilustração de uma supernova.