Matemática Financeira Básica e Previdência (Social ou Individual)

Há muitos fatores complicados nas discussões sobre a Previdência Social, aposentadoria, investimentos etc. Uma discussão constante é se a Previdência Social é ou não auto sustentável. Ou vale a pena contratar uma Previdência Privada?

Previdência Social
Aposentadoria inalcançavel

Vamos simplificar as variáveis ao máximo possível. Vamos assumir que um trabalhador trabalhe por N anos, ganhando o mesmo salário anual S e que a cada ano faça uma contribuição que é uma fração f do salário S.
Se não houvesse rendimento algum, é fácil calcular o quanto ele teria acumulado: N * f * S. Por exemplo, se S = R$ 10 mil (por hipótese, é o valor líquido recebido em um ano), e que contribua com f = 10%, por 40 anos, teria acumulado (nessa estimativa sem rendimento algum)  4 * S. E assim, se o trabalhador parasse de trabalhar (e de contribuir) e começasse a “comer” o valor acumulado pelo mesmo valor que recebia enquanto trabalhava, ele teria quatro anos para usufruir o benefício. E depois?

Claro que a hipótese de zero rendimento limitaria muito a aposentadoria. Daí a importância crucial de CRESCIMENTO da economia que promova rendimentos para investimentos que revertam para a aposentadoria.

Assim, vamos assumir que ao longo dos anos haja um rendimento r para as contribuições acumuladas. Esse rendimento deve ser o valor efetivo de rendimento, descontados todos os impostos, inflação etc.

Em assim temos condições de calcular o valor futuro acumulado usando fórmulas que têm em qualquer calculadora avançada ou planilha eletrônica. Por exemplo o Excel (in English) é a fórmula:

FV(r;N; -f*S), r é a taxa, por N períodos, com pagamentos de f*S

Por exemplo: r=2%, N= 40, f= 10%, teremos

FV(2%;40;-10%)*S = 6,04*S

Isto é, seriam acumulados valores equivalentes para seis anos de aposentadoria integral. É um resultado melhor do que obtivemos acima com zero rendimento.

Se a partir daí o trabalhador começar a retirar seus proventos S como pensão de aposentadoria, quantos anos levaria para consumir o valor acumulado  assumindo que os valores não retirados continuam rendendo à mesma taxa r?

Essa pergunta também é respondida por uma fórmula de matemática financeira básica:

N(r;-S;VP), r é a taxa, S é a retirada da pensão, a partir de um valor acumulado no presente VP.

Por exemplo: r=2% e VP é o FV calculado acima, teremos
N(2%;-S;FV)=6,5

Isto é, o trabalhador iria consumir o valor acumulado pelas contribuições de 40 anos em seis anos e meio. Claramente o sistema com essas hipóteses não é auto-sustentável.

Convém ressaltar que os resultados podem mudar muito com a variável da taxa de rendimento r.  Usando a planilha eletrônica podemos fazer muitas simulações e cenários.

Por exemplo:

fração de contribuição quantidade de contribuições taxa de rendimento efetiva quantidade acumulada fração de pensão por aposentadoria quantidade de anos
10% 40 2% 6,04 100% 6,50
10% 45 4% 12,10 80% 23,69
10% 49 3% 10,85 100% 13,33

Na penúltima linha da tabela acima eu calculo a quantidade de anos de aposentadoria com uma pensão equivalente a 80% do salário assumindo uma taxa de rendimento constante de 4% ao longo de todos os anos (quase 60 anos)  e o trabalhador contribuiu 10% de seu salário por 45 anos. Com essas hipóteses ele poderia usufruir da aposentadoria por quase 24 anos.  E na última linha vemos o caso de 49 anos de contribuição (proposta pelo Governo Federal), com uma taxa de rendimentos efetiva de 3% ao longo dos 63 anos com a mesma contribuição de 10% do seu salário dariam 13 anos um 3 meses de aposentadoria integral.

Esses cálculos usam elementos básico de matemática financeira apenas, mas podem ser importantes para avaliarmos propostas de Previdências Privadas, criticarmos racionalmente as propostas de Previdência Social do Governo Federal e também considerarmos possíveis investimentos com vistas a uma vida digna depois que pararmos de trabalhar, se tivermos a felicidade de vida longa.

Um notório saber que não sabe ensinar

Não é apenas uma noção de senso comum. Há pesquisas e reflexões acadêmicas consolidadas que mostram que o conhecimento específico do conteúdo é necessário mas não suficiente para ensiná lo. Na realidade há competências e habilidades específicas que devem ser aprendidas para que um professor seja minimamente qualificado.

Um exemplo emblemático, bem pontual, mas representativo de que ter notório saber não basta para sequer explicar um assunto, um conteúdo é o matemático japonês Shinichi Mochizuki que diz ter resolvido um problema clássico da Matemática, a conjectura ABC.

A conjectura, isto é, o problema proposto nos anos 1980 é entendido por muitas pessoas. Basta procurar o termo Conjetura ABC.

Mochizuki estudou o problema, desenvolveu nova matemática e escreveu a sua solução em 500 páginas. No entanto, nenhum matemático entendeu completamente o que o Mochizuki escreveu. Assim, fizeram um encontro para que o japonês explicasse para um grupo de matemáticos profissionais. Não deu certo – teve a dificuldade adicional de que o Mochizuki estava no Japão e o grupo de matemáticos estava na Inglaterra, isto é, as apresentações foram por vídeo conferência. Resolveram então fazer uma reunião de trabalho no Japão com o Mochizuki presencialmente.


Mesmo assim, acham que ainda precisam de 3 anos para entender a solução desenvolvida pelo matemático japonês.

O que chamo a atenção é  que o notório saber inquestionável do matemático japonês não foi suficiente para ensinar o conteúdo novo nem mesmo para matemáticos profissionais de alto nível.

Vejam mais informação aqui.

Marés, Ciclovia e Clima

No feriado Brasileiro de Tiradentes, em 21 de Abril de 2016, uma parte da ciclovia da orla da cidade do Rio de Janeiro caiu em virtude do impacto da massa de água do mar que tirou a passarela de seus suportes e caiu, levando duas pessoas à morte.

Splash de Maré em Ciclovia
Ciclovia Rompida pela Maré

Veja algumas matérias jornalísticas sobre o assunto:

É claro que a Ciclovia não estava preparada para isso, mas era previsível.

A dinâmica das águas nas encostas não é simples, mas já é muito bem conhecida. Sendo bem sucinto, o movimento, alcance e altura das águas na orla do continente (ou nos limites de um grande lago) dependem dos seguintes fatores:

  1. Posição relativa da Lua e do Sol;
  2. Posição geográfica do local;
  3. Perfil do fundo da praia;
  4. Contorno da orla;
  5. Tipo de material na orla, como pedra, areia, com ou sem vegetação;
  6. Velocidade dos ventos e das correntes nas imediações;
  7. Tempestades em alto mar;

Todos que já foram à praia sabem das marés altas e baixas que ocorrem com alguma repetição ao longo dos dias, mas em horários diferentes. Em termos de periodicidade podemos classificar as marés em três tipos:

  1. Semi-diurna;
  2. Diurna;
  3. Mista;

A figura abaixo mostra no mapa mundo quais os tipos predominantes de marés altas (e baixas):

Mapa mundial mostrando onde ocorrem os 3 tipos de marés.
3 tipos de marés

Vou comentar apenas as variáveis relativas à Lua e ao Sol. Vamos usar algumas aproximações. Todos os corpos envolvidos, Terra, Lua e Sol, são esferóides muito similares a uma esfera. Todos os corpos envolvidos têm uma rotação em torno de um eixo, isto é, cada corpo tem momentum angular em relação ao seu eixo.  Eles também  viajam em uma órbita não retilínea no espaço e sendo assim possuem momenta angulares devido à translação no espaço. Finalmente, é importante registrar as distâncias entre os centros de massa.

A quantidade de parâmetros nessa configuração (já simplificada) é enorme:

  • 9 para especificar as posições dos centros de massa
  • 3 para especificar os vetores momenta angular em relação aos seus eixos de cada astro. Para o fenômeno, basta o momentum angular da Terra.
  • 2 para especificar os raios maiores e menores de cada esferóide. Para o estudo da maré em períodos inferiores a um século, basta as raios equatorial e polar da Terra. E muitas vezes usa-se apenas o raio médio.
  • 9 para especificar as velocidades de cada astro – os momenta angular relativo às translações seguem do produto vetorial das posições com as velocidades.

Isto é, o estudo da parte do movimento das marés devido à força gravitacional diferencial envolve pelo menos 21 parâmetros. Claro que muitos desses parâmetros têm pequena importância para o fenômeno. Antecipo que o principal ator para o fenômeno das marés são as força diferenciais ou de maré (tidal force) provocada pela Lua e pelo Sol. As acelerações provocadas em cada caso (e seus valores absolutos médios) são:
\large a_L = \frac{ G M_L}{R_{LT} ^3} \, r \approx 6 \times 10^{-7} \, \frac{m}{s^2}  

\large a_S = \frac{ G M_S}{R_{ST} ^3} \, r \approx 3 \times 10^{-7} \, \frac{m}{s^2}

em que r a distância ao centro da Terra,   R_{LT}  é a distância entre Terra e Lua, e  M_L é a massa da Lua;   R_{ST}  é a distância entre a Terra e o Sol, e  M_S é a massa do Sol. Os valores médios foram obtidos na Planetary Fact Sheet da NASA.

É importante é perceber o comportamento com o inverso do CUBO da distância. E essa aceleração, como um vetor, tem a direção e sentido estabelecidos pela reta que une os centros de gravidade dos corpos envolvidos.  Assim, como essas distâncias e direções variam ao longo das horas, dias e estações, temos variações significativas nos efeitos de maré.

Observe as distâncias relativas, em duas escalas abaixo. A primeira figura contempla o Sol, a Terra e a Lua em um mesmo quadro.

solar_eclipse_model_1
Posições e Tamanhos em escala

E a segunda figura contempla apenas a Lua e a Terra, mas mostra os tamanhos desses astros como pequenos círculos.

E por outro lado, a ilustração abaixo, fora de escala, enfatiza o aumento relativo da maré na qual a penas as forças diferenciais em sentidos opostos estão representadas.

diff_grav1
Esquema, fora de escala, das forças diferenciais de maré

Há várias outras configurações relativas e tudo está em movimento: A terra gira em torno de si com período de 24 horas, a Lua gira em torno da Terra com período próximo a 28 dias, e a Terra (junto com a Lua) orbita em torno do Sol a cada 365,4 dias. A configuração espacial relativa desses três astros se repete a cada 18,3 anos (aproximadamente).

Assim, é importante ter dados medidos de longa data. E a Marinha do Brasil mantém várias estações de medidas e assim fornece tábuas de previsões de marés. A estação que fica na Ilha Fiscal, no Rio de Janeiro, usa 26 harmônicos para construir a tabela de maré e está ativa desde os anos 1960. Lembre-se da simples contagem acima de pelos menos 21 parâmetros.

Aliás, os dados dessa estação estimam a tendência do aumento do nível do mar (medida local) em aproximadamente 2,18 mm/ano com 95% de confiança no intervalo de 1,30 mm/ano para cima ou para baixo, com base no nível médio mensal do mar de 1963 to 2011. Esse é mais um dado apontando as mudanças climáticas.

Gráfico mostra aumento do nível do mar medido na estação da Ilha Fiscal
Tendência de nível do mar no Rio de Janeiro

Voltando ao problema da Ciclovia, observamos a dinâmica das ondas que se quebram no “quebra-mar”. Essas ondas têm mais volume de água e mais potencial destrutor durante as marés altas. E elas são ainda maiores em Luas Cheias ou Novas. E podem ser ainda maiores se a Lua estiver nos seu Perigeo (ponto mais próximo da Terra) e podem ser ainda maiores se a Terra (junto com a Lua) estiver no seu Periélio (ponto da órbita terrestre mais próximo do Sol).

Enfim. Um projeto interessante como esse de uma ciclovia na belíssima orla do Rio de Janeiro tem que contemplar tudo isso e um pouco mais.

 

 

Como está a Economia? Depende dos incentivo$ ou das preferências partidárias

Como vai a Economia? A resposta em geral vai depender das preferências partidárias ou afinidades com a presidência.  A menos que um incentivo financeiro seja prometido.

É isso que mostram duas pesquisas recentes:

Essas pesquisas envolvem cidadãos americanos questionados sobre as políticas econômicas de partidos e presidentes diferentes e foram resumidas no TheUpshot do The New York TimesHow Is the Economy Doing? It May Depend on Your Party, and $1

A constatação de que a resposta depende das preferências partidárias é muito evidente atualmente em conversas presenciais ou na internet – percebemos em poucas frases a preferência partidária de uma pessoa amiga ou colega. O que é interessante é que as opiniões tendenciosas foram alteradas, nos indivíduos das pesquisas, mediante a promessa de um pequeno incentivo financeiro – as repostas foram mais próximas com os dados reais da economia ou admitia-se não saber.

Eu acho interessante esse tipo de pesquisa, pois, mesmo com todas as suas limitações e o cuidado em não generalizar ou extrapolar a análise, revelam um pouco mais o nosso comportamento social.

Vou colocar como provocação e não como conclusão das pesquisas mencionadas que eu acho que temos opiniões em vários outros assuntos sem muita fundamentação racional, mas com muito preconceito. E essa imparcialidade aparece em indivíduos e em instituições, na minha opinião.

Sendo assim, o exercício que devemos fazer é o de se colocar na posição do outro e pensar na eventual possibilidade (por mais remota que seja) de que estamos errados sobre a posição adotada. Ou então, sendo bem mais honestos, como mostrou a pesquisa, admitirmos que não sabemos com certeza suficiente para opinar com confiança.

4 ou 3 ?
4 ou 3 ? Depende do ponto de vista.

 

Feliz MMXVI

O que a teoria dos números diz de 2016?

  • Pode ser um ano besta, pois 2016 = 666+666+666+6+6+6
  • É um ano bissexto, isto é, terá 366 dias (quase besta?)
  • Em sistema binário temos 2016 = 111111000002
    isto significa que 2016 = 210 + 29+28 + 27+26 + 25
  • Pode-se escrever também  2016 =211 – 25
  • E a fatoração é 2016 = 25 x 32 x 7
  • 2016 é classificado como um número prático, que por definição é tal que todos os números menores do que 2016 podem ser escritos como a soma de distintos divisores de 2016.

Escolha a sua numerologia, foca nas suas prioridades e viva bem mais um Anno Domini.

imagem de uma flor com gotas de chuvas
Flor de Antúrio com gotas de uma chuva de verão.

100 ANOS DE RELATIVIDADE GERAL: GR100INRIO – 5

O último dia do GR100 IN RIO tratou majoritariamente de observações, projetos, tratamento de dados etc, tanto em Cosmologia, quanto em Astrofísica, Física de Partículas e a busca determinada pela detecção de Ondas Gravitacionais.

Se por um lado há muitos dados e o seu tratamento estatístico e analítico não são triviais, por outro lado é frustrante necessitar de MAIS dados e mais observações para detectar Ondas Gravitacionais, por exemplo, ou descobrir nova física e eliminar propostas teóricas de gravitação, cosmologia ou física fundamental de partículas.

A grande aposta é que até 2020 teremos a detecção de ondas gravitacionais por interferometria a laser no LIGO, VIRGO etc.

E sem data marcada, o empreendimento DES, para mapear a matéria escura, quer trazer uma luz sobre as propriedades desse componente do Universo, tão abundante e tão desconhecido.

Outro destaque foi a apresentação dos dados do projeto Planck que tem um telescópio no ponto estável L2 de órbita entre o Sol e a Terra. O satélite já não coleta dados pois o sistema criogênico deixou de funcionar, mas os dados coletados não foram totalmente processados ainda – se bem que os principais resultados já foram publicados.

Com isso foi terminado uma semana de intensa atividade. Vejam a foto “oficial” da conferência:

Foto oficial do GR100inRio

Onde ficaria Einstein nessa foto?

http://www.gr100inrio.com

 

Física, Matemática, Relatividade, Ensino, Astrofísica, Cosmologia, Computação Científica, Divulgação de Ciências e Matemática