MM444, Álgebra
não Comutativa
Segundo semestre de 2019
Aulas: Segunda e Quarta, 08:00--10:00, sala 224, IMECC
NOTAS das avaliações (arquivo pdf)
Exercícios sugeridos para a primeira prova:
A. Do livro [1]:
Ex. 1-8, p. 55 (Cap. 3.1)
Ex. 1-9, pp. 58, 59 (Cap. 3.2)
Ex. 2-6, p. 62 (Cap. 3.3)
Ex. 1-7, pp. 66, 67 (Cap. 3.4)
Ex. 1-12, pp. 71, 72 (Cap. 3.5)
B. Do livro [4]:
Ex. 5.1-5.4, 5.9-5.13, 5.17-5.21, pp. 134-136 (Cap. 5)
Exercícios para P2:
A. Do livro [4]:
pp. 103--106: Ex. 4.6, 4.8, 4.9, 4.11--4.24
B. Do livro [5]: p. 226, Ex. 1, 3; p. 230, Ex. 3; p. 231, Ex. 1--3
Ementa da disciplina
1. Módulos, anéis, álgebras (sobre um corpo). Módulos irredituveis,
semissimples, indecomponíveis. Série de decomposição. Teorema de Jordan e
Hőlder.
2. Anéis primos e semi-primos, radical de Baer e caracterizações.
3. Radical de Jacobson. Ideais unilaterais maximais. Propriedades do
radical de Jacobson.
4. Densidade e aplicações. Anéis primitivos,
propriedades.
5. Anéis semissimples. Teorema de Wedderburn e Artin.
Aplicações. Anéis simples.
6. Módulos e anéis Noetherianos e Artinianos.
Propriedades e aplicações.
7. Álgebras de
dimensão finita. Álgebras simples. Álgebras centrais simples.
8. Grupo de
Brauer. Álgebras com divisão. O grupo de Brauer dos racionais.
9. Teorema
de Skolem e Noether e aplicações. Teorema de Frobenius sobre as álgebras
de divisão reais.
10. Grupos de matrizes. Finitude de grupos de matrizes.
Teoremas de Burnside.
11. Módulos e álgebras livres, propriedades genéricas.
Álgebras nil e nilpotentes, problemas de tipo Burnside. Teorema de
Golod e Shavarevich.
Bibliografia
1. J. Lambek, Lectures on rings and modules, Blaisdell, 1966.
2. I. Herstein, Noncommutative rings, Carus Math. Monographs, MAA, 1968.
3. Y.Drozd, V. Kirichenko, Finite-dimensional algebras, Springer, 1994.
4. M. Bresar, Introduction to noncommutative algebra, Springer,
Universitext, 2014.
5. R. Pierce, Associative algebras, Springer GTM 88,
1982.
Avaliação
Serão aplicadas três provas com pesos iguais. Nas provas, os
alunos terão de resolver exercícios sobre a matéria estudada, bem como
mostrar conhecimentos teóricos (saber os enunciados bem como as demonstrações das principais
afirmações da matéria). Ao menos um dos exercícios de cada prova será do
tipo "Enunciar e demonstrar o Teorema sobre ..."
As datas das
provas serão:
Primeira prova: 09 de setembro de 2019 (segunda-feira).
Segunda prova: 14 de outubro de 2019 (segunda-feira).
Terceira prova: 18 de novembro de 2019 (segunda-feira).
Exame
final: em data a ser definida, se houver necessidade. O exame final
será aplicado para os alunos com média das três provas abaixo de 5.
Para tais alunos, a nota final será a média entre a nota das provas e a
do exame final.
O conceito final será A se a nota (numérica) for entre 8,0 e 10; B para
nota entre 6,5 e 7,(9); C entre 5,0 e 6,4(9). Nota numérica abaixo de 5
equivale a reprovação e nota D.
Obs. As provas serão aplicadas fora do horário de aula.