Probabilidades condicionais

1.- O problema a seguir ocupa um lugar de honra na história da Probabilidade. Este é o famoso problema dos pontos. Em termos gerais, o problema é o seguinte: Dois jogadores apostam e jogam algum jogo, com as apostas indo para o ganhador do jogo. Se o jogo é interrompido antes do final e os jogadores tem um “score parcial” . Como as apostas deveriam ser divididas?

Este problema foi proposto ao matemático francês Pascal em 1654 por Chevalier de Méré, que era um jogador profissional desta época. Quando tentava resolver este problema, Pascal introduziu a importante idéia de que as apostas deveriam ser divididas de acordo com a probabilidade de que cada um teria de ganhar o jogo se este fosso continuado a partir do ponto em que foi interrompido. Pascal trabalhou em alguns casos especiais e mais importante, iniciou uma correspondência com o famoso francês Fermat, que tinha grande reputação como matemático. A troca de cartas resultou não só na solução completa do problema dos pontos como também introduziu toda a estrutura que resultou na solução de muitos outros jogos de azar. Esta correspondência é considerada por alguns como o nascimento da teoria de probabilidade. Além disso, estimulou o interesse em probabilidade entre os matemáticos da época, pois Pascal e Fermat eram reconhecidamente grandes matemáticos de seu tempo. Por exemplo, logo após a troca de cartas, o jovem Huygens veio a Paris discutir estes problemas e soluções.

O problema dos pontos. Considere ensaios independentes, resultando em sucesso com probabilidade p e em fracasso com probabilidade 1 – p . Qual é a probabilidade de que n sucessos ocorram antes de m fracassos? Se pensamos como jogadores A e B que disputam um jogo no qual A ganha 1 ponto quando um sucesso ocorre e B ganha um ponto quando 1 fracasso ocorre, então a probabilidade desejada é a probabilidade que A ganhe se o jogo for continuado faltando n sucessos para A ganhar e m sucessos para B ganhar.

2.- O problema da ruína do jogador. Dois jogadores, A e B, apostam nos sucessivos resultados do lançamento de uma moeda. A cada lançamento, se a moeda sai cara, A recebe 1 real de B, enquanto que se a moeda sai coroa, A paga 1 real para B. Eles continuam até que um deles perca todo o seu dinheiro. Se assumimos que os lançamentos sucessivos da moeda são independentes e que cada lançamento resulta em cara com probabilidade p, qual a probabilidade que A termine com todo o dinheiro se ele começa com I reais e B começa com N – I reais?