Cara Daiane,

Tudo bem. Bom que voce esta' estudando. Fico contente.

Quanto `a sua duvida, e' muito natural e pertinente.
Se voce esta' tendo duvidas e comparando com os resultados do livro,
e' porque voce esta' se dedicando `a materia.

Veja: o que define um sistema de coordenadas cartesianas e' um ponto
(a origem) e os vetores diretores (um conjunto de vetores ortonormais, i.e.
unitarios e ortogonais entre si; dois vetores, no caso do plano, o R2, e
tres, no caso do espaco, o R3). Quando se determina os autovalores e os
autovetores associados (vetores ortonormais) fica fixado um sistema de
coordenadas cartesianas. As letras que usamos para representar as variaveis
nos eixos coordenados (retas passando pela origem e com direcoes
determinadas pelos vetores diretores), e' 'irrelevante'.

Quando e' dada a equacao nas variaves xy (no plano) ou xyz (no espaco),
ja esta' fixado um sistema de coordenadas cartesianas. A origem e' O=
(0,0) ou O= (0,0,0) e os vetores diretores sao U1=(1,0) e U2=(0,1) ou
U1=(1,0,0), U2=(0,1,0) e U3=(0,0,1). (Note que se, por exemplo, trocarmos
U1 por menos U1, teremos 'menos x' no lugar de x.)
Dai', ao determinar os autovalores e autovetores associados, determinamos
um novo sistema de coordenadas cartesianas e nao tem importancia as letras
que  usamos para representar as variaveis neste novo sistema. A conica ou
quadrica que a equacao (original)  representa nao depende do novo sistema
escolhido (veja, o novo sistema e' escolhido, e' auxiliar na classificacao
da conica ou quadrica). O novo sistema nao e' unico. Logo, o que voce
encontrou pode ser diferente do livro; pode ter e.g. x' no lugar de y'.
Por conseguinte, os focos podem ter tambem coordenadas diferentes do livro.
O que nao muda e' a posicao deles. Sugiro calcular as coordenadas dos
mesmos em relacao ao sistema de coordenadas original. Para isto, podemos
usar a relacao entre as coordenadas do sistema original e do novo sistema
obtido.

Espero ter ajudado, mas por favor, escreva-me novamente se nao ficou claro,
e, pode me consultar (me escrever) quantas vezes desejar (achar necessario).

Um abraco,
Marcelo.


> Olá Marcelo, tudo bem?
>
> Primeiramente peço desculpas por incomodá-lo novamente com a mesma dúvida.
> Bom, na última terça-feira lhe perguntei se na etapa em que se determina os
> autovalores a' e c' eu posso atribuir qualquer um dos dois valores de lambda a a', ou 
> seja, não existe um critério para dizer que o valor de a'  deve ser o menor dos dois
> valores encontrados. No entanto, ao fazer os exercícios do livro do Reginaldo J.
> Santos, quando comparo a resposta com o  gabarito, os valores dos coeficientes da
> equação canônica encontrados mostram-se de acordo, mas em alguns exercícios (como
> o 7.2.11.) eles estão  invertidos no gabarito (por exemplo nesse exercício citado: no
> gabarito, o foco da parábola encontra-se situado no eixo x, mas na minha resolução o
>foco está situado no eixo y).  Grosso modo, parece-me que sempre que eu atribuo o
> maior valor de lambda encontrado a c' a resposta fica de acordo com o gabarito. Isso é
>válido? Eu não consigo entender o porque disso, e esse detalhe está me confundindo.
>Existiria uma explicação plausível para isso?
>
> Desde já agradeço pela atenção,
> Daiane