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GRUPOS FUCHSIANOS
Livro no formato .ps p/ download:
Grupos
Fuchsianos
Préfacio
Este texto é
basicamente as notas de aula de um curso de pos-graduação oferecido no
Imecc da UNICAMP, e como tal presta-se como livro texto para um curso
semestral. A grande motivação para oferecer esse curso foi o fato de a
teoria de grupos fuchsianos ser uma teoria bastante consolidada e
acessível que abre uma fresta através da qual podemos vislumbrar diversas
areas atuais e importantes de pesquisa em matematica. Grupos fuchsianos
são grupos discretos de isometrias do plano hiperbólico. A teoria de
grupos fuchsianos é bem estruturada e boa parte do conteùdo deste texto
pode ser encontrada ja no artigo Théorie des Groupes Fuchsiens
publicado por Poincaré em 1882 . Além de ter sido bem elaborada por varias
gerações de matematicos, a teoria de grupos fuchsianos é bastante
acessível devido à existência de modelos euclidianos para espaços
hiperbólico, o que a torna uma teoria ilustrável, no sentido literal da
palavra. A acessibilidade da teoria foi uma das motivações para que
oferecesse este curso e uma das linhas mestras na elaboração deste texto
que procurei escrever de forma tão auto-contida quanto possível. Os
pré-requisitos formais são poucos, bastando conhecer a linguagem basica de
variedades riemannianas (apresentada de forma quase que esquematica no
apêndice e as definições basicas da teoria de grupos que apresentamos no
corpo do texto. Rudimentos de topologia algébrica, como o conhecimento
(superficial) de grupo fundamental e característica de Euler também são
necessarios, mas em nível que não deve preocupar o leitor. No restante do
texto procurei apresentar o conteùdo de maneira detalhada, quiça prolixa,
tentando evitar o uso das expressões ''é óbvio que ... '', ''é facil
ver... '' e outras similares que muitas vezes atormentam o pùblico leitor
de textos matematicos. é com este intuito que apresentamos de maneira
razoavelmente detalhada a geometria dos espaços hiperbólicos. Espero ter
sido bem sucedido neste intento, e para tornar o texto mais agradavel,
procurei fornecer exemplos trabalhados de forma detalhada, assim como
diversas ilustrações. A atualidade da teoria de grupos fuchsianos deve-se
ao fato de espaços hiperbólicos não trivializarem diversos fenômenos que
são trivializados no caso euclidiano. Assim, podemos distinguir entre
grupos co-compactos e grupos geometricamente finitos , entre horoesferas e
hiperplanos, entre rigidez e classificação. Assim, os grupos fuchsianos,
muito mais que os grupos cristalograficos, servem como exemplos
fundamentais para o estudo de grupos discretos de isometrias em contextos
bem mais amplos, seja este o de espaços simétricos de tipo não compacto
(incluindo o estudo de grupos quase-fuchsianos e grupos Kleinianos) ou no
contexto de variedades de curvatura não positiva ou variedades de
visibilidade. Além disto, mesmo no caso co-compacto, a classificação dos
grupos fuchsianos é mais rica e nos possibilita entender a conjectura de
Thurston, apresentada num dos paragrafo do texto. O vislumbre destas
diversas possibilidades se expressa no texto de varias formas. Antes de
tudo, na introdução de grupos de Mbbius e espaços hiperbólicos, não nos
restringimos ao caso bi-dimensional, pois a arbitrariedade da dimensão não
tem custo significativo em termos de complexidade do texto e permite ao
leitor pensar em contextos mais amplos. Além disso, se expressa na
demonstração de varios resultados em que utilizamos hipóteses genéricas
sobre a ação de grupos discretos, assim como nas diversas observações
espalhadas ao longo do texto, pequenas escotilhas que geralmente remetem o
leitor a referências bibliograficas e refletem gostos e interesses
pessoais do autor. Além destas observações, um apêndice (\ref{apendice2}),
elaborado por Claudia Candida Pansonato, trata de propriedades de Domínios
de Dirichlet em contextos mais genéricos que os abordados neste texto.
Também as seções sobre variedades geométricas e sobre espaços de
teichmuller e rigidez têm o ùnico intuito de remeter o leitor a outras
questões que pode-se dizer relacionadas ou inspiradas com o conteùdo
basico deste texto. Arquivo em .ps p/ download:
Grupos
Fuchsianos
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