Parametrizando superfícies de revolução com coordenas cilíndricas.

As coordenadas polares, quando empregadas no espaço, dão origem ao chamado sistema de coordenas cilíndricas dado pelas equações abaixo.

x = r cosθ,
y = r sinθ,
z = z.

A coordenada z continua sendo a mesma das cartesianas, mostra a altura, com sinal, do ponto (x, y, z) com relação ao plano horizontal xy, dado por z = 0. Num primeiro enfoque, a coordenada r é não negativa e representa a distância do ponto (x, y, z) ao eixo z. Nalgumas situações permitimos r ficar negativo, daí sua troca de sinal é interpretada a partir das equações acima ...trocar o sinal do r é o mesmo que trocar o sinal das coordenadas x e y.

Podemos pensar que tanto r quanto o ângulo θ são as coordenas polares da projeção do ponto (x, y, z) no plano xy, isto é, ponto (x, y, 0), identificando daí o plano usual xy com o plano xy que está dentro do espaço xyz. Num primeiro enfoque a coordenada θ tem uma variação de 2π, mas deixamos o ângulo variar muito mais quando estudamos certas estruturas. Por exemplo, em estrututuras que espiralam, fazemos θ ter variações maiores que 2π, para obter várias voltas.

Tal sistema é muito prático para descrever algumas superfícies parametricamente e as superfícies de revolução têm uma parametrização relativamente simples de entender a partir cilíndricas. Neste caso escolhemos o eixo z como se fosse o eixo de revolução, isto é, o eixo em torno do qual a curva geratriz é rodada, gerando a superfície de revolução.

Nas polares, quando fixamos ângulo θ, definimos uma semireta, não uma reta, pois fazemos diferença entre as semiretas quando θ = 0 ou θ = π, por exemplo. No espaço, quando fixamos θ, esta semireta, em conjunto com o eixo z, define um semiplano.

A intersecção deste semiplano com o plano xy, define um semi-eixo que chamamos de u(θ), que depende do θ fixado. O tal semieixo u coincide com o semi-eixo x positivo quando θ = 0, e com o semi-eixo y positivo quando θ = π/2, u é o r das polares, mas com promoção a eixo, com seta e tudo.

Agora vamos à superfície de revolução. Imaginemos uma curva geratriz no semiplano uz, independentemente do semieixo u escolhido. Pelo fato de que temos uma superfície revolução, qualquer que seja o semieixo u, a curva é a mesma. Esta curva, girada, produzirá a superfície de revolução. Girar não altera a forma da curva. Aliás, cada ponto da curva, na revolução, percorre uma órbita, que é uma circunferência. A superfície é uma pilha de circunferências geradas pelas órbitas dos pontos da curva geratriz, ao girarem.

Estas circunferências, por analogia com a terra, chamam-se paralelos da superfície ...e as possíveis geratrizes, uma para cada plano uz, chamam-se meridianos.

Vamos supor que parametrizamos a tal curva geratriz num semiplano uz com um parâmetro t, obtendo u = u(t) e z = z(t). Notamos que, para obter x e y basta multiplicar u por cosθ e senθ.

A variável u nada mais é do que a variável r para um θ fixo, só que agora passou a dar a coordenada num semieixo, parecido com um ponteiro, lá no plano xy. As equações da curva geratriz no semi-plano uz, onde θ é fixo, como dissemos estamos supondo que são dadas por u = u(t), z = z(t). Então, no espaço xyz, as equações paramétricas são dadas por

x = u(t) cosθ,
y = u(t) senθ,
z = z(t),

o parâmetro t movimenta ao longo da geratriz e o parâmetro θ gira os pontos da geratriz em torno do eixoz.

A receita para parametrizar as supefícies de revolução é parametrizar, com um parâtro t, a geratriz no plano uz ...em seguida escrever as equações paramétricas a dois parâmetros, como logo acima.

Um cilindro pode ser obtido pela rotação de uma reta vertical, sua geratriz, em torno do eixo z, já o cone é a rotação de uma reta inclinada, esta é a sua geratriz. A esfera é a  rotação de uma semi-circunferência centrada na origem do semiplano uz. Não é necessária uma circunferência completa, ou teríamos duplicidade de parâmetros para um mesmo ponto. Basta girar a semicircunferência.

A reta vertical que escolhemos para gerar um cilindro pode ser parametrizada no plano uz, exemplificamos com u = 1, z = t. A reta inclinada que escolhemos para gerar um cone, exemplificamos com u = t, z = t. A semi-circunferência que gera a esfera de raio unitário pode ser dada, vide figura abaixo, por u = sent, z = cost, com t de zero a π, de forma que fará o papel de ângulo polar quando a esfera for produzida. Para a semicircunferência, o ângulo polar t vai de 0, no pólo norte, até π, no pólo sul e assume o valor π/2 no equador.

Das parametrizações das geratrizes da reta vertical, da reta inclinada e da semicirucunferência, construímos as parametrizações do cilindro, do cone e da esfera.

Lembre-se daquele pneu que você leva para a praia todos os domingos. Em matemática é chamado de toro, pode ser obtido pela rotação de uma circunferência completa, não centrada no eixo z e coplanar com este eixo, em torno dele. Tomamos uma circunferência completa no plano uz, com raio r (agora não usaremos o r para polares, aqui r é raio menor do toro) e centrada no ponto (u, z) = (R, 0) (R é o raio maior do toro). A equação da circunferência no semiplano uz é portanto a seguinte.

z² + (u - R)² = r²

Uma observação, para passar da equação do plano uz para a equação em cartesianas, basta trocar u por √(x² +y². Portanto a equação do toro em cartesianas é a seguinte.

z² + (√(x² + y²) - R)² = r²

Vamos parametrizar a tal circunferência completa no plano uz. Espiando a figura mais abaixo, vemos que podemos parametrizar esta geratriz por z = r sent, u = R + r cost, onde t é um ângulo que lembra o polar da esfera. Fazemos o desenho abaixo escolhendo 5 e 1 para raios maior e menor. Perdão para a confusão de notação, desde que falamos no toro, a coordenada r é o raio menor do toro, não tem nada a ver com o r das polares ...aliás, o r das polares agora está sendo representado pela coordenada u.

As equações paramétricas da geratriz são u(t) = R + r cost, z(t) = r sent. Portanto x = (R + r cost) cosθ,  y = (R + r cost) senθ.

Notamos que o ângulo polar toroidal t aqui tem que variar entre zero e 2π para fabricar toda a circunferência, e esta, ao girar, fabricar o toro completo, no caso da esfera precisávamos apenas de meia circunferência. Nos desenhos abaixo vamos empregar R = 8 e r = 1, pois iremos enroscar toros ...e assim fica mais fácil.

A equação em coordenadas cartesianas deste toro é

z² + ((√(x² + y²)) - 8)² = 1.

Bom se você não gosta do toro sentado, vamos colocá-lo em pé, basta para tanto agirmos como se o eixo y fosse o de revolução, os eixos z e x, seriam os antigos x e y, é só trocar os eixos.

... daí ele parece um pneu de bicicleta! Sua equação é

y² + ((√(z² + x²)) - 8)² = 1.

Para desenhar os toros enroscados teremos que deslocar um deles. Deslocamos o primeiro, empregamos o vetor 8i + 0j + 0k para deslocar todos os pontos do primeiro toro.

e o apresentamos em conjunto com o segundo...

Estão aí os toros, enroscados para sempre.

O sistema cilíndrico também é bom para estudarmos algumas superfícies que não são de revolução, vamos tomar as cilíndricas, mas fazer a coordenada z proporcional ao ângulo θ e deixamos que este varie de zero até 8π, isto é, 4 voltas completas. Quanto ao r, vamos limitar entre 3 e 6.

Obtemos uma bela rampa helicoidal, as coordenadas cilíndricas vão muito além da superfície de revolução, basta modificarmos a curva ao mesmo tempo que a giramos. Dê asas à sua imaginação, inventando parametrizações c com as cilíndricas, que nada mais são que as polares no espaço.