"Exemplo 8"

"Mostre que :"

Limit[(x y)/Sqrt[x^2+y^2],{x->0,y->0}]

"solução"
"Sendo (r,θ) as coordenadas polares do ponto (x,y). Então x = r Cosθ e y = r Senθ, então (Sqrt[(x^2) + (y^2)])=(rCosθ)(rSenθ)/(Sqrt[(r^2) (((Cosθ)^2) ((Senθ)^2))]) = r Cosθ Senθ para r > 0"

"Porque r=(Sqrt[(x^2) + (y^2)]), então é claro que r->0 a medida que ambos x e y se aproximam de zero. Isso portanto segue que; O limite de xy/(Sqrt[(x^2) + (y^2)]) quando x e y -> 0 é igual ao limite de rCosθSenθ quando r->0. Por que o modulo de CosθSenθ é menor ou igual a o modulo de Cosθ vezes o modulo de Senθ que por sua vez é menor ou igual a 1 para todo θ. Então a função f do exemplo é definida como:"
"f(x,y)= xy/(Sqrt[(x^2) + (y^2)]) se (x,y) ≠ (0,0), e = 0 se x = y = 0"

"isto segue que f é continua na origem (0,0). A figura a seguir mostra o grafico de z=f(x,y), ela corrabora o limite de zero que encontramos em (0,0). "

Plot3D[x y/(Sqrt[(x^2)+(y^2)]),{x,-1,1},{y,-1,1},PlotRegion->{-0.5,0.5},RegionFunction->Function[{x,y},x^2+y^2≤1],PlotStyle->Purple,MeshFunctions->{Norm[{#1, #2}] & }]

ParametricPlot3D[{{r Cos[θ],r Sin[θ],r Cos[θ]Sin[θ]},{r Cos[θ],r Sin[θ],-1}},{r,0,1},{θ,0,2π},PlotStyle->{{Opacity[0.2],Purple},{Opacity[0.2],Purple}}]