Olá Saulo, de fato a função de FresnelC aparece quando integramos o cost^2 (não é exatamente igual à integral, tem algumas constantes aqui e ali, mas é quase igual). Também existe a FresnelS, que aparece quando integramos o sent^2, estas duas integrais, do sent^2 e do cost^2, apareciam muito em problemas de interferência ...a teoria diz que a integral de função contínua existe, mas as tais integrais não podiam ser descritas em termos das funções que então haviam no vocabulário das funções conhecidas. A saída foi definir as duas funções ...elas são interessantes, aparece uma curva muito interessante, chamada curva de Cornu, quando colocamos x = FresnelC[t], y = FresnelS[t], tal curva tem velocidade vetorial proporcional a {cost^2, sent^2}.

 

Bem, no exercício, você não tem que integrar, pois pedem a derivada da integral, pelo teorema fundamental do cálculo isto resulta no integrando ...no caso a integral de cost^2 entre y e x, dá a primitiva em x menos a primitiva em y ...quando você derivar em x, a primitiva em y desaparece ...e a derivada da primitiva em x vai dar cosx^2 ...tal seria o obtido se derivasse a expressão que obteve em x ...mas perceba, pela teoria nem precisaria integrar para depois derivar, se g(t), genérica, é integrável, tendo primitiva G(t), que satisfaz G'(t) = g(t), o teorema fundamental do cálculo garante que

 

Integrate[g(t), {t, y, x}] = TFC = G(x) - G(y)

 

portanto

 

D[Integrate[g(t), {t, y, x}], x] = G'(x) = g(x).

 

Veja note anexo ...a resposta valeria não apenas para cost^2 mas para qualquer g(t) integrável, repare como o mathematica sabe empregar o TFC ...para entrar com uma hipotética g, genérica, temos que utilizar o cochete ...entrando com g[t] ele supõe que é uma função de t, admite que é integrável e tem mais algumas propriedades ...e sai fazendo contas.

 

Saudações. Márcio.