Olá, Lucca.
Para regiões produzidas por revolução, existe uma forma muito simples
para calcular volume ...também para calcular superfície externa, faça
uma pesquisa sobre os teoremas de Pappus, na net.
O primeiro teorema de Pappus diz que, quando rodamos uma região plana,
em torno de um eixo pertencente ao seu plano, o volume da região
espacial produzida é o produto da área da região pela órbita do seu
centróide (centro de massa, se admitimos que a região tem distribuição
de massa homogênea). Assim o volume do toro sólido (rotação do círculo
completo) é
(pi r^2) (2 pi R) = 2 pi^2 R r^2,
onde r é o raio menor e R é o raio maior do toro.
Aliás há um segundo teorema de Pappus, diz que, quando rodamos um curva
plana, em torno de um eixo pertencente ao seu plano, a superfície
produzida é o produto do comprimento da curva plana pela órbita do seu
centróide. Assim a área externa do toro, produzida pela rotação de uma
circunferência, é
(2 pi r) (2 pi R) = 4 pi^2 R r.
No texto do Edwards e Penney, ed de 94, traduzida, o teorema de Pappus
aparece na página no item 15.5, na página 105, dé uma espiada em
...o 15.5 é um tópico com aplicações que começa com centros de massa,
depois vai para Pappus e momentos de inércia.
Saudações. Márcio.