Olá,
Lucca,
temos uma esfera dada por
x^2 + y^2 + z^2 = 1
e um cone dado por z=(x^2+y^2)^(1/2), estamos
interessados na região z>0, onde o cone por baixo e
esfera por cima ficam com a aparência de um sorvete.
Bem, primeiro reescrevemos a equação do cone da forma
x^2 + y^2 = z^2
...na curva em que as duas superfícies se interceptam
valem as duas equações, portanto
2 z^2 = 1, daí z^2 = 1/2, z = (1/2)^1/2,
aproximadamente 0.7. Substituindo z^2=1/2 tanto numa
equação quanto na outra obtemos que
x^2 + y^2 =
1/2.
Vemos que a intersecção das duas superfícies se dá numa
circunferência presa no plano
z = (1/2)^1/2,
que pertence também ao cilindro
x^2 + y^2 = 1/2,
isto é, que tem raio
igual
à altura, que é metade da raiz de dois, ~0.7.
Assim sendo, no seu desenho, você teria que empregar um
domínio maior, no seu tanto x quanto y vão de -0.5 a
0.5, também convêm tirar o Mesh, colocar o BoxRatios->Automatic
para proporções reiais e também o delimitador do domínio
de plotagem dado por
RegionFunction -> Function[{x, y, z}, x^2 + y^2 <= 1/2]
...se não utilizar este último, aparecem rebarbas, vica
horrível. Executei sem e depois com, para você ver. Na
execução final coloquei algumas escolhas de estilo.
Procure sempre, no help, ver os comandos e opções dos
notebooks que enviamos.
Quanto ao volume, é pedido o volume entre a esfera dada
por
x^2 + y^2 + z^2 = a^2
e o cone dado por
z = (x^2 + y^2)^(1/2),
o desenho é um caso particular, quando a = 1.
Bem, note que agora a circunferência em que cone e
esfera se encontram vai depender de a, se quadramos a
equação do cone, obtendo
x^2 + y^2 = z^2
e substituímos na equação da esfera obtemos
2 z^2 = a^2, portanto a circunferência está presa no
plano
z = a/((2)^(1/2)) (a dividido por raiz de dois),
substituindo o valor de z^2 = a^2/2 na equação do cone
temos
x^2 + y^2 = a^2/2, o raio da circunferência também é
igual a a/((2)^(1/2)).
Na quarta plotagem, coloquei a função identicamente nula
dentro do Plot3D, para que fosse plotada também, com o
cone. Note que a região espacial existe acima desta
sombra, que é um círculo e não existe fora dela. Assim
sendo a diferença de altura entre a esfera, mais alta, e
o cone, mais baixo, dada por
z2 - z1 = (a^2 - x^2 - y^2)^(1/2) - (x^2 - y^2)^(1/2)
deve ser integrada no círculo, sombra que tem equação
x^2 + y^2 <= a^2/2 igual a a/((2)^(1/2)).
Esta integral dupla fica mais fácil em polares do que em
cartesianas, daí trocamos x por rcostheta, y por
rsentheta na função diferença de altura (integrando) e
ainda a multiplicamos por r, que é o fator de correção.
No círculo a variável theta vai de 0 a 2pi e a variável
r vai de O até a/((2)^(1/2)). Como a região circular é
um retângulo no plano hipotético rtheta, uma variável
não delimita a outra, podemos integrar em qualquer
ordem, vamos fazer primeiro em theta (note que ao passar
para polares trocamos x^2+y^2 por r^2)
Integrate[((a^2 - r^2)^(1/2) - (r^2)^(1/2)) (r), {theta,
0, 2pi}] =
= Integrate[(a^2 - r^2)^(1/2) r - r^2, {theta, 0, 2pi}]
=
2pi ((a^2 - r^2)^(1/2) r - r^2),
a integração sai fácil, pois a função integrada não
depende de theta, sendo apenas multiplicada por 2pi na
primeira integral.
A segunda integral é mais difícil, mas mesmo na mão sai.
A integral agora é em r, tem duas parcelas. Um dos
integrandos,
2pir^2dr, é simples, temos que calcular a variação da
primitiva
2pir^3/3, com r indo de zero até a/((2)^(1/2)), isto dá
pia^3/((2)^(1/2)).
A outra parcela é um pouco mais difícil ...o termo de
correção r, po sorte, ajudará muito, no integrando
2pi(a^2 - r^2)^(1/2) rdr, podemos fazer a troca
u = a^2 - r^2, du = -2rdr, que obtemos
-pi u^(1/2) du e a integral sai também ...bem, deixemos
este serviço para o soft, né?
Em cartesianas teríamos que trabalhar de forma parecida
aos exercícios que explique a você mesmo, em
https://www.ime.unicamp.br/~marcio/ps2020/emails/20200325.htm
num círculo uma das variáveis, x ou y, delimita a outra
quando é fixada. Se integramos primeiro em y, na
primeira integral y varia entre
-(rcirc^2-x^2) e (rcirc^2 - x^2), depois integramos em
x, entre -rcirc e rcirc.
Naquele caso o mathematica resolvia, neste não resolve
não ...quando tentei fazer a integral, que seria
Integrate[(a^2 - x^2 - y^2)^(1/2) - (x^2 - y^2)^(1/2),
{y, -(a^2/2 - x^2)^(1/2), (a^2/2 - x^2)^(1/2)}], {x,
-a/((2)^(1/2)), a/((2)^(1/2))}]
...o soft demorou tanto que desisti, daí tentei com um
valor fixo, a=1, o soft fez, mas levou 205 vezes mais
tempo do que a integral em polares com a genérico (o
metacomando AbsoluteTiming mede o tempo da máquina).
Abraço.