Olá, Lucca.

Alterei o 20200418.nb, que havia enviado a você ontem. Adicionei a figura feita de outra forma, com o emprego de coordenadas esféricas. Isto simplifica tudo, pois no sistema de coordenadas esféricas a região do sorvete é um paralelepípedo. O pedaço de esfera que forma a tampa de cima é um pedaço de superfície coordenada do sistema em que a coordenada radial r das esféricas está fixa e igual a um, a latitude varia de pi/4 até pi/2, e a longitude varia de -pi até pi. O cone é outro pedaço de superfície coordenada do sistema, onde a coordenada radial r vai de zero até um, a latitude é fixa e igual a pi/4 e a longitude vai de -pi a pi.

O sistema de coordenadas esféricas é definida pelas equações

x = r Coslambda Cosphi
y = r Coslambda Senphi
z = r Senlambda,

a partir destas equações construímos as parametrizações da tampa esférica e do cone, e os desenhamos com os comandos

ParametricPlot3D[{1 Cos[lambda] Cos[phi], 1 Cos[lambda] Sin[phi], r Sin[lambda]}, {lambda, pi/4, pi/2}, {phi, -pi, pi}]

ParametricPlot3D[{r Cos[pi/4] Cos[phi], r Cos[pi/4] Sin[phi], r Sin[pi/4]}, {r, 0, 1}, {phi, -pi, pi}]

...o desenho fica com um Mesh default bonitino, igual ao do livro.

Se quiser dar uma espiada em coordenadas esféricas, superfícies coordenadas associadas, sugiro dar uma espiada na nossa apostilinha sobre parametrizações, que está em

http://www.ime.unicamp.br/~marcio/ps2020/books/xmples.pdf

...lá, em vez de empregarmos lambda, empregamos seu complemento, theta, chamado de colatitude ou ângulo polar, que é até mais utilizado que latitude em textos de química e física. Para pegar intuição com latitude e longitude, aconselhamos as vinte primeiras páginas do nosso livrinho, inspirado em geodesia, você entra em

http://www.editoraunicamp.com.br/produto_detalhe.asp?id=1217

e desce na página de propaganda, que você encontra acesso às vinte primeiras páginas, mesmo sem adquirir.

Bem, em coordenadas esféricas fica facílimo calcular o volume pedido no exercício, você tem que integrar a função constante e igual a um no paralelepípedo do espaço hipotético rlambdaphi, no qual a coordenda radial r fica entre 0 e 1, a latitude lambda fica entre pi/4 e pi/2 e a longitude phi fica entre -pi e pi.

A integral tripla da função constante e igual a um numa região espacial do espaço xyz e nas coordenadas xyz, dá o volume  da tal região espacial, da mesma forma que integrar a função um numa região plana dá a área da região, como comentei anteontem em resposta ao Bruno, no email

http://www.ime.unicamp.br/~marcio/ps2020/emails/20200417.htm

que vou levantar daqui a alguns minutos, junto com este.

No caso do email do Bruno, passávamos para coordenadas polares, e havia um termo de correção, igual r. Agora neste caso, quando passamos para coordenadas esféricas, o termo de correção é r^2 Coslambda. Daí o volume fica fácil de calcular (lembro que no caso do volume o raio da esfera é genérico e igual a a, a = 1 apenas no desenho). Vejamos como fica a integral tripla.

V = Integrate[Integrate[Integrate[1 r^2 Coslambda, {phi, 0, 2pi}], {lambda, pi/4, pi/2}], {r, 0, a}]

...faça na mão que verá como sai fácil ...com o soft sai mais fácil ainda. Além do 20200418.nb modificado, adicionamos uma foto apenas com a modificação neste email, que é o de ontem, encaminhado com revisões.

Ah, as integrais triplas, inclusive em esféricas, são matéria das duas próximas listas, se quiser adiantar seu estudo, espie em

http://www.ime.unicamp.br/~marcio/ps2020/books/EdPen15.7.pdf

 

Saudações. Márcio.


 
---------- Forwarded message ---------
From: Márcio Antonio de Faria Rosa <oicram@unicamp.br>
Date: Sat, 18 Apr 2020 at 21:32
Subject: Re: Atividade 29 do livro - Lista 2
To: Lucca Kauê Gonçalves <l240233@dac.unicamp.br>

 
Olá, Lucca, temos uma esfera dada por
x^2 + y^2 + z^2 = 1
e um cone dado por z=(x^2+y^2)^(1/2), estamos interessados na região z>0, onde o cone por baixo e esfera por cima ficam com a aparência de um sorvete. Bem, primeiro reescrevemos a equação do cone da forma
x^2 + y^2 = z^2
...na curva em que as duas superfícies se interceptam valem as duas equações, portanto
2 z^2 = 1, daí z^2 = 1/2, z = (1/2)^1/2,
aproximadamente 0.7. Substituindo z^2=1/2 tanto numa equação quanto na outra obtemos que
x^2 + y^2 = 1/2.

Vemos que a intersecção das duas superfícies se dá numa circunferência presa no plano
z = (1/2)^1/2,
que pertence também ao cilindro
x^2 + y^2 = 1/2,
isto é, que tem raio igual à altura, que é metade da raiz de dois, ~0.7.

Assim sendo, no seu desenho, você teria que empregar um domínio maior, no seu tanto x quanto y vão de -0.5 a 0.5, também convêm tirar o Mesh, colocar o BoxRatios->Automatic para proporções reiais e também o delimitador do domínio de plotagem dado por
RegionFunction -> Function[{x, y, z}, x^2 + y^2 <= 1/2]
...se não utilizar este último, aparecem rebarbas, vica horrível. Executei sem e depois com, para você ver. Na execução final coloquei algumas escolhas de estilo. Procure sempre, no help, ver os comandos e opções dos notebooks que enviamos.

Quanto ao volume, é pedido o volume entre a esfera dada por
x^2 + y^2 + z^2 = a^2
e o cone dado por
z = (x^2 + y^2)^(1/2),
o desenho é um caso particular, quando a = 1.

Bem, note que agora a circunferência em que cone e esfera se encontram vai depender de a, se quadramos a equação do cone, obtendo
x^2 + y^2 = z^2
e substituímos na equação da esfera obtemos
2 z^2 = a^2, portanto a circunferência está presa no plano
z = a/((2)^(1/2)) (a dividido por raiz de dois),
substituindo o valor de z^2 = a^2/2 na equação do cone temos
x^2 + y^2 = a^2/2, o raio da circunferência também é igual a a/((2)^(1/2)).

Na quarta plotagem, coloquei a função identicamente nula dentro do Plot3D, para que fosse plotada também, com o cone. Note que a região espacial existe acima desta sombra, que é um círculo e não existe fora dela. Assim sendo a diferença de altura entre a esfera, mais alta, e o cone, mais baixo, dada por
z2 - z1 = (a^2 - x^2 - y^2)^(1/2) - (x^2 - y^2)^(1/2)
deve ser integrada no círculo, sombra que tem equação
x^2 + y^2 <= a^2/2 igual a a/((2)^(1/2)).

Esta integral dupla fica mais fácil em polares do que em cartesianas, daí trocamos x por rcostheta, y por rsentheta na função diferença de altura (integrando) e ainda a multiplicamos por r, que é o fator de correção. No círculo a variável theta vai de 0 a 2pi e a variável r vai de O até a/((2)^(1/2)). Como a região circular é um retângulo no plano hipotético rtheta, uma variável não delimita a outra, podemos integrar em qualquer ordem, vamos fazer primeiro em theta (note que ao passar para polares trocamos x^2+y^2 por r^2)
Integrate[((a^2 - r^2)^(1/2) - (r^2)^(1/2)) (r), {theta, 0, 2pi}] =
= Integrate[(a^2 - r^2)^(1/2) r - r^2, {theta, 0, 2pi}] =
2pi ((a^2 - r^2)^(1/2) r - r^2),
a integração sai fácil, pois a função integrada não depende de theta, sendo apenas multiplicada por 2pi na primeira integral.

A segunda integral é mais difícil, mas mesmo na mão sai. A integral agora é em r, tem duas parcelas. Um dos integrandos,
2pir^2dr, é simples, temos que calcular a variação da primitiva
2pir^3/3, com r indo de zero até a/((2)^(1/2)), isto dá
pia^3/((2)^(1/2)).

A outra parcela é um pouco mais difícil ...o termo de correção r, po sorte, ajudará muito, no integrando
2pi(a^2 - r^2)^(1/2) rdr, podemos fazer a troca
u = a^2 - r^2, du = -2rdr, que obtemos
-pi u^(1/2) du e a integral sai também ...bem, deixemos este serviço para o soft, né?

Em cartesianas teríamos que trabalhar de forma parecida aos exercícios que explique a você mesmo, em

https://www.ime.unicamp.br/~marcio/ps2020/emails/20200325.htm

num círculo uma das variáveis, x ou y, delimita a outra quando é fixada. Se integramos primeiro em y, na primeira integral y varia entre
-(rcirc^2-x^2) e (rcirc^2 - x^2), depois integramos em x, entre -rcirc e rcirc.

Naquele caso o mathematica resolvia, neste não resolve não ...quando tentei fazer a integral, que seria

Integrate[(a^2 - x^2 - y^2)^(1/2) - (x^2 - y^2)^(1/2), {y, -(a^2/2 - x^2)^(1/2), (a^2/2 - x^2)^(1/2)}], {x, -a/((2)^(1/2)), a/((2)^(1/2))}]

...o soft demorou tanto que desisti, daí tentei com um valor fixo, a=1, o soft fez, mas levou 205 vezes mais tempo do que a integral em polares com a genérico (o metacomando AbsoluteTiming mede o tempo da máquina).
 

 
Abraço.

 
On Sat, 18 Apr 2020 at 19:51, Lucca Kauê Gonçalves <l240233@dac.unicamp.br> wrote:
 
Professor, boa noite!

 
Segue em anexo um notebook referente ao exercício 29 do livro. Duas dúvidas:
- Como desenhar a figura sem esse "vácuo" entre elas, de forma que o sorvete fique representado corretamente?
- Tive dificuldade em definir os limites de integração, pois agora ganhamos uma variável Z, que em coordenadas polares não pode ser expressa em função de r e theta.

Agradeço desde já.