Olá, Bruno ...quem calcula volumes calcula áreas também, basta imaginar um sólido com altura fixa e igual a um sobre a região da qual se pretende calcular a área, que o volume tal do sólido é igual, numericamente, à área da tal região. Por este motivo o z sumiu da expressão, pois foi trocado pelo número um. A figura é a base do sólido como disse ...quer dizer, se pensamos neste sólido de volume um. Mas podemos pensar que a integral empregada, onde z é igual a um, serve para calcular áreas ...e esquecer do sólido, que é apenas auxiliar. Pelo jeito está entendendo sim. 

 
Consideremos uma região com a variável θ das polares delimitada pelas radiais θ = α e θ = β,
α <= θ <= β 
de forma que para θ fixo, entre α e β, r varia, na região, desde zero até f(θ).
0 <= r <= f[θ],
note que então r = f[θ] é a expressão, em polares, da curva, que junto com as duas radiais, determina a região.

 
Pelo raciocínio do exemplo 6 a área da região descrita acima pode ser calculada pela integral dupla

 
A = Integrate[Integrate[r, {r, 0, f[θ]}], {θ, α, β}]

 
...a primeira integral tem que ser em r, pois as limitações desta variável depende da outra, θ. Já a variável θ, vai entre dois valores fixos, independentes de r.

 
A primeira integração é fácil, a integral de rdr dá (1/2)r^2, calculando a variação das primitivas entre os extremos que são 0 e f[θ], vemos que esta primeira integral resulta em (1/2)(f[θ])^2 e portanto

 
A = (1/2) Integrate[ (f[θ])^2, {θ, α, β}]

 
...alguns textos de GA obtém esta fórmula para áreas de regiões em polares sem empregar a integral dupla, mas empregando argumentos geométricos e argumentos típicos do primeiro curso de cálculo. Veja por exemplo o tópico 10.7 da terceira edição (traduzida) do Leithold, que vai em anexo.

 
Saudações. Márcio.
 

 

 
On Fri, 17 Apr 2020 at 13:24, Bruno Brasil Muths <b213945@dac.unicamp.br> wrote:
 
Olá professor,
Novamente estou confuso com algumas coisas no tópico 15.4

 
     Em "regiões mais gerais e coordenadas polares"  no item (6) é mostrada uma equação para encontrar o volume, mas no Exemplo 2 é usada uma equação muito parecida para encontrar a área, a única diferença é a presença do "z" na do item (6), o que esse "z" representa?
     E porque a equação do exemplo 2 tem como resultado uma área e não um volume ? 
      Também não consegui visualizar bem o sólido que o volume encontrado pela equação (6) representa na figura 15.4.9, é como se a área representada na figura fosse a base do sólido, se sim como saberíamos o limite superior dele?

 
Desculpe pela confusão, tentei ser claro mas não sei se consegui .
Obrigado desde já, abraços.