Olá, Bruno ...quem calcula volumes calcula áreas também, basta imaginar
um sólido com altura fixa e igual a um sobre a região da qual se
pretende calcular a área, que o volume tal do sólido é igual,
numericamente, à área da tal região. Por este motivo o z sumiu da
expressão, pois foi trocado pelo número um. A figura é a base do sólido
como disse ...quer dizer, se pensamos neste sólido de volume um. Mas
podemos pensar que a integral empregada, onde z é igual a um, serve para
calcular áreas ...e esquecer do sólido, que é apenas auxiliar. Pelo
jeito está entendendo sim.
Consideremos uma região com a variável θ das polares delimitada
pelas radiais θ = α e θ = β,
α <= θ <= β
de forma que para θ fixo, entre α e β, r varia, na região,
desde zero até f(θ).
0 <= r <= f[θ],
note que então r = f[θ] é a expressão, em polares, da curva, que
junto com as duas radiais, determina a região.
Pelo raciocínio do exemplo 6 a área da região descrita acima pode ser
calculada pela integral dupla
A = Integrate[Integrate[r, {r, 0, f[θ]}], {θ, α, β}]
...a primeira integral tem que ser em r, pois as limitações desta
variável depende da outra, θ. Já a variável θ, vai entre dois
valores fixos, independentes de r.
A primeira integração é fácil, a integral de rdr dá (1/2)r^2, calculando
a variação das primitivas entre os extremos que são 0 e f[θ], vemos
que esta primeira integral resulta em (1/2)(f[θ])^2 e portanto
A = (1/2) Integrate[ (f[θ])^2, {θ, α, β}]
...alguns textos de GA obtém esta fórmula para áreas de regiões em
polares sem empregar a integral dupla, mas empregando argumentos
geométricos e argumentos típicos do primeiro curso de cálculo. Veja por
exemplo o tópico 10.7 da terceira edição (traduzida) do Leithold, que
vai em anexo.
Saudações. Márcio.