Olá, Tiago, na primeira tenho a impressão que veja, está em In[222], você anteriormente deve ter usado a variável y, algo assim ...não use tantas entradas num único notebook. No caso a região fica entre o plano z = 0 e o gráfico z = 1 + x y em cima do quadrado [0,1]x[0,1] do plano xy ...e portanto a primeira integral dupla pode ser feita tanto em x quanto em y, tanto faz, pois fixar uma delas não limita a variação da outra, tanto x quanto y variam de 0 a 1. Veja no note anexo, não deu problema. No note anexo também ilustramos a região.

 

Quanto à segunda, acho que o problema foi o mesmo, tenho impressão que, nalgum momento anterior você havia escrito que y = x^2 - 2x, isto causou a confusão, talvez se tivesse entrado com Clear[y] antes, as integrais dariam certo.

 

Falemos mais sobre a segunda, fazemos a integral na sombra plana da região espacial. Nesta sombra, x varia de 0 até 3 e para cada x fixo neste intervalo, a outra variável, y, varia desde o extremo inferior, que é dado a partir do x fixo por x^2-2x, e um extremo superior, que é dado por x. Assim a integral do 1, que é a altura fixa, pode ser feita primeiro em y, entre x^2-2x e x, depois em x, de 0 até 3. Se pensamos que a região é uma picanha, os cortes x fixo são as fatias, cuja àrea obtemos na primeira integração.

 

Ah, neste caso, em que a altura é um, o volume e a área da sombra coincidem, note que integrando a função um numa região, obtemos sua área, esta é uma estratégia para obter áreas de regiões por integrais duplas.

 

No note anexo, além da integral ilustramos a região, uma fatia com x=1.5 fixo, a sombra, fizemos até uma animação.

 

Ah, para digitar a integral você digita ESC int ESC, daí aparece a cobrinha, daí, após CTRL -, digita o extremo inferior, depois, após CTRL 5, o extremo superior, para voltar ao integrando você digita CTRL ESPAÇO, daí a função a ser integrada ...e para o diferencial ditita ESC dd ESC. Pode também utilizar o comando Integrate (dé uma espiada no help).

 

Em cada comando dos notebooks que estou enviando e depois levantando, estudem os atributos e façam variações sobre o tema.

 

Abraço. Márcio.