Olá Pessoal

Espero que já tenham começado a estudar as séries, lembro-vos que, neste momento crucial, um estudo acelerado é providencial.

No fim do semestre tudo se acumula, temos as provas das várias disciplinas. Neste semestre especialmente, teremos um clima de festa devido à copa, mesmo que o senhor escape deste clima, ele contaminará seus colegas e indiretamente você, não há como escapar (principalmente se o Brasil ganhar).

Aconselho aos senhores que acelerem muito os seus estudos agora! Para a nossa disciplina é condição preliminar conseguir um exemplar do volume 2 do Edwards e Penney (E&P no que segue), 4ª edição. Para tanto basta ir à Biblioteca Central e pegá-lo. Empregamos o capítulo 11 do E&P, que trata de séries, este capítulo tem cerca de 70 páginas. Uma opção é fotocopiá-lo (não demorem muito para fazer isto, se possível voltem no tempo e comecem a estudar o texto há pelo menos duas semanas atrás). Também é aconselhável pegar o texto sobre convergência uniforme que está no CAF para ser fotocopiado. Estas leituras são condições necessárias para o estudo dos capítulos 5 e 10 do Boyce.

Na internet espiem as páginas do sos-calculus, http://www.sosmath.com/calculus/calculus.html e também a http://tutorial.math.lamar.edu/AllBrowsers/2414/Seq_Series.asp.

Três outros textos que podem ser encontrados pelos senhores com facilidade e que tratam a matéria com mais profundidade são:

(a) o capítulo 6 do "Cálculo Avançado" de W. Kaplan traduzido para o português por F. Tsu e publicado pela editora Edgard Blücher em 1972, este texto, que foi reimpresso várias vezes, trata com mais profundidade o tema,

(b) o capítulo 8 do volume 2 de "Cálculo e Álgebra Linear" e W. Kaplan e D. J. Lewis, tradução feita por vários professores da UnB, publicada 1973 pela LTC editora, reimpresso algumas vezes (este você encontra na Biblioteca Central), também mais preciso e profundo que o E&P e mais extenso do que o texto que o Kaplan escreveu sozinho,

(c) os capítulos 3 e 11 do "Cálculo Avançado" da Coleção Shaum, escrito por M. R. Spiegel, traduzido por A. A. Farias e F. A. Bastos e publicado pela McGraw-Hill do Brasil em 1971, este texto tem muita informação interessante e exercícios resolvidos.

Bastará aos senhores o estudo detalhado do material do E&P, a leitura atenta deste resumo e uma leitura do material complementar (tirado do Kaplan). Terão conhecimentos suficientes sobre séries para a leitura do Boyce e Diprima, também para fazer nossa prova.

Aqui faremos um resumo comentando o texto empregado do E&P e o texto adicional do Kaplan.

E&P começam o capítulo 11 com um bate-papo sobre a história da matemática, vale a pena ler esta página inicial e até espiar na internet sobre as contribuições de Ramanujan para as séries, este genial indiano que teve uma formação matemática pouco ortodoxa e uma visão própria da matemática, foi descoberto pelos matemáticos britânicos Hardy e Littlewood no início do século XX.

Para quem gosta de histórias espie na internet também sobre Gomes de Sousa, matemático brasileiro que se destacou no estudo de séries divergentes em meados do século XIX, época dominada pela escola francesa.


11.2 seqüências infinitas

Como em todos os textos que apresentam as séries, E&P começam, no tópico 11.2, a tratar de seqüências de números reais, mencionam a seqüência de Fibonacci como exemplo e definem limite de uma seqüência e os conceitos associados de seqüência divergente e convergente.

Seguem E&P no 11.2 enunciando alguns teoremas sobre limites de seqüências. Chamamos vossa atenção para o grande valor prático do teorema 4. Quando encontramos uma função f(x) satisfazendo f(n)=sn, isto é, o valor da função, quando aplicada num índice, coincide com o termo da seqüência correspondente àquele índice, temos que:

 lim f(x) = L implica lim sn =
 x→∞ n→∞   

... este teorema permite que importemos todas as técnicas que empregávamos para os limites no Cálculo I para o estudo de séries.

E&P apresentam em seguida, como exemplo de aplicação deste teorema, a prova, com o emprego da regra de l'Hôpital, de que as séries {3n3/en} e {ln(n)/n} convergem para zero. Estes exemplos evidenciam os conhecidos e importantes conceitos de que a exponencial cresce mais rapidamente e o logarítmo cresce mais devagar do que qualquer potência.

E&P terminam o parágrafo 11.2 apresentando um importante resultado sobre seqüências monótonas. As seqüências monótonas, como o nome diz, são aquelas para as quais seus termos não invertem o ritmo:

(a) nas monótonas crescentes o termo seguinte nunca é menor que o anterior podendo ser maior ou igual àquele:

  s1     s2     s3     ... sn     sn+1     ...  

(a) nas monótonas decrescentes o termo seguinte nunca é maior que o anterior podendo ser menor ou igual àquele:

  s1     s2     s3     ... sn     sn+1     ...  

Reparem que a seqüência constante, em que todos termos são iguais entre si é simultaneamente monótona crescente e monótona decrescente. Como era de se esperar, a seqüência constante é muito monótona.

O tal resultado importante sobre as seqüências monótonas diz que:

  toda seqüência limitada e monótona converge.  

Este resultado na realidade não é um teorema, mas um postulado conhecido como postulado de completeza dos números reais. Este resultado não valeria para o conjunto dos números racionais. Poderíamos construir uma seqüência monótona crescente de racionais aproximando-se de √2, esta seqüência não seria convergente se restringíssemos nosso conjunto numérico aos racionais.

Comentamos que o resultado acima poderia ser enunciado de forma mais refinada. De fato toda seqüência monótona crescente limitada superiormente converge para o seu supremo e toda seqüência monótona limitada inferiormente converge para o seu ínfimo.

Dizemos que um valor é cota superior de um conjunto quando é maior ou igual a qualquer elemento do tal conjunto. Um conjunto que admite alguma cota superior é chamado de conjunto limitado superiormente. Para tal conjunto a menor das cotas superiores é chamada de supremo e o postulado de completeza dos reais garante que qualquer conjunto de números reais limitado superiormente tem um número real como supremo.

O ínfimo de um conjunto é definido de forma análoga, como a maior das suas cotas inferiores e o tal postulado de completeza garante que todo conjunto de números reais limitado inferiormente admite um número real como ínfimo.

Quando mencionamos cotas superiores e inferiores, ínfimos e supremos de seqüências, referimo-nos então ao conjunto constituído pelos termos da seqüência em questão.

Um conjunto é dito limitado quando é limitado inferiormente e superiormente. Daí o enunciado mais refinado implica naquele apresentado no texto de E&P.

Para os interessados aconselhamos os exercícios do final do parágrafo e textos mais avançados de Cálculo, como o de Kaplan e Lewis, citado na página principal do nosso curso.

Na bateria de exercícios ao final do 11.2, os exercícios 1 até 35 são mais ou menos interessantes para o aluno que precisa de mais ou menos revisão dos limites do Cálculo I. Considero os exercícios 36 até 46 importantes para complementar a informação teórica recebida no capítulo, os exercícios 39, 40, 43 e 44 são fortemente recomendados.

O texto de E&P não apresenta o importante critério de Cauchy para a convergência de seqüências. Se seqüência a sn tem a propriedade de que para todo ε>0 podemos encontrar um inteiro N tal que:

|sn - sm| < ε para m N, n N,

então a seqüência é chamada de seqüência de Cauchy. Pode-se mostrar que:

  toda seqüência a de Cauchy é convergente e vice-versa.  

A prova do critério de Cauchy é feita com o emprego dos conceitos de ínfimo e supremo e o postulado de completeza dos reais, pode ser encontrada em cada um dos três livros mencionados acima.


11.3 séries infinitas e convergência

E&P começam a tratar das séries de números reais. Uma tal série é expressão da forma:

an = a1 + a2 + a3 + ... + an + ... 
n=1

Os números reais aj são chamados de termos da série. Associamos a cada série uma seqüência, chamada de seqüência das somas parciais da série:

  S1 = a1
  S2 = a1 + a2
  S3 = a1 + a2 + a3
  ...

e dizemos que a série converge quando a tal seqüência das somas parciais converge, então o limite da seqüência das somas parciais,

 

lim 

 

Sn

 

=

 

S 
n→∞ 

...é chamado de soma da série e escrevemos:

an = S.
n=1

Reparem que para verificar a convergência de uma série e eventualmente calcular sua soma, construímos a seqüência das somas parciais da série e aplicamos a ela a técnica do 11.2. Podemos então, por exemplo, aplicar o teorema 4. Assim E&P resolvem alguns exemplos e assim você irá proceder em boa parte da lista de exercícios ao final do 11.3. Entretanto veremos, à medida que nos aprofundamos nas séries, que existem vários teoremas que simplificam este trabalho.

No primeiro exercício resolvido, E&P tratam da série:

(½) + (½) 2 + ... + (½) n + ...

...um primeiro exemplo de série geométrica, esta de grande importância histórica. Para comprovar tal importância digite 'Aquiles+Tartaruga' no google e pesquise, verá relatos de importante 'gedankenexperiment' envolvendo estas duas figuras heróicas. Os feitos da tartaruga no imaginário humano são realmente espetaculares, além de enfretar Aquiles em tempos remotos é bem lembrada sua bela vitória sobre a lebre em celebrada corrida (dizem então que a precoce lebre, atraída por uma cenoura, foi na direção errada).

A estratégia de E&P ao somar esta histórica série geométrica é digna de nota, escrevem os primeiros termos da seqüência das somas parciais e notam que:

S1=1/2, S2=3/4, S3=7/8, S4=15/16, ...

Torna-se natural a conjetura de que Sn=(2n-1)/2n, então E&P afirmam que esta expressão vale, provam-na por PIF, o velho princípio da indução finita, e finalmente fazem o limite de Sn quando n→∞ para obter que:

(½) + (½) 2 + ... + (½) n + ... = 1.

Este procedimento pode ser dividido em quatro partes:

(a) inspeção das primeiras somas parciais,
(b) conjetura de uma regra geral que tornou-se aparente,
(c) prova da conjetura por PIF,
(d) cálculo do limite,

... e funciona para muitas séries.

O exemplo 3 resolvido mostra um truque interessante, trata-se da série ∑1/{n(n+1)}. Quebrando o termo da série em frações parciais,

an = 1/{n(n+1)} = 1/(n) - 1/(n+1)

obtém-se, devido a vários cancelamentos, que Sn = 1 - n/(n+1). Portanto a série tem soma 1, que é o limite de Sn quando n→∞.

Seguem E&P com o teorema 1, que, para |r|<1, dá a soma da série geométrica. Temos:

rn a0 = r1a0 + r2a0 + r3a0 + ... + rna0 + ... = a0 / (1-r). 
n=1

A soma da série geométrica decorre da fórmula para a soma de uma PG:

a0 + r a0 + rn a0 + ... + rna0 = a0 {(1 - rn+1)/(1 - r)}.

Proponho aqui um exercício aos senhores, provem que a fórmula da soma de uma PG vale para números complexos. Considerem daí o caso em que a0=1 e r=exp(iθ)=cos(θ)+isen(θ), a exponencial de Euler. Então escrevam a expressão da soma e obtenham, tomando as partes real e imaginária da tal expressão, as seguintes fórmulas:

½ + cosθ + cos2θ + ... + cos(nθ) = {sen((n+½)θ)} / 2sen(θ/2) e
senθ + sen2θ + ... + sen(nθ) = {cos(½θ) - cos((n+½)θ)} / 2sen(θ/2),

que valem para θ ≠ 2kπ e são muito importantes para somar algumas séries que ocorrem em problemas de interferência (para fazer a demonstração revise a velha fórmula de Moivre, lá do ensino médio).

Voltemos ao texto do E&P, o teorema 2 fala sobre a combinação linear de séries convergentes. O teorema 3 é muito importante, estabelece uma condição necessária para a convergência de séries,

 lim an =
 n→∞   

é condição necessária para a convergência da série. Desta forma, se o termo geral não vai para zero quando n→∞, a série é divergente. Este resultado decorre do fato de que se uma série é convergente, quando n→∞, sn→S e também sn+1→S, portanto:

an = sn+1 - sn→ S - S = 0.

Mostram E&P no exemplo 8 que tal critério implica que a série ∑n/(3n+1) é divergente pois então an→1/3.

A necessidade da convergência do termo da série para zero, muito útil para verificar de pronto a divergência de uma série, é apenas necessária e não suficiente para a convergência. O contra-exemplo vem do teorema 4, que afirma que a conhecida e famosa série harmônica:

1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ...  
n=1

diverge apesar de que an=(1/n)→0 quando n→∞.

Na prova deste fato é feita antecipando uma técnica que será detalhada no parágrafo 11.5, chamada teste da integral. Da figura que aparece na página 139,

vemos que a soma parcial sn=1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n) da série harmônica é sempre maior do que a integral entre 0 e n da função real de variável real dada por f(x)=1/(1+x). Portanto

sn >  ∫0n{1/(1+x)}dx = ln{1+n}

e sn→∞ quando n→∞ mostrando que a tal série harmônica diverge.

A seção 11.3 termina com o teorema 5, que apenas alerta para o fato de que os primeiros termos de uma série não afetam sua convergência ou divergência. Dadas duas séries diferem por um número finito de termos, uma só diverge ou converge se o mesmo acontece com a outra.

Quanto à lista de exercícios ao final do 11.3, começa com uma bateria de exercícios, do 1 ao 28, onde o aluno tem que verificar divergência ou convergência de séries, com os elementos do parágrafo estudado. Em seguida aparecem alguns problemas relacionando séries com dízimas (faça pelo menos um destes, é interessante para sua formação cultural ligar as séries com as velhas dízimas).

Os exercícios que vão do 36 ao 40 devem ser feitos, obrigatoriamente. Os exercícios do 41 ao 45 aprofundam elementos teóricos. Não deixem de fazer o 44 e o 45, são instigantes e preparam terreno para os próximos tópicos do texto. Do 46 até o final temos problemas clássicos sobre a série geométrica.

O texto não apresenta o critério de Cauchy para convergência de séries, que é uma aplicação do critério de Cauchy mecionado acima para seqüencia das somas parciais. Se dado qualquer ε > 0 encontramos N suficientemente grande tal que:

|sn - sm| = |am+1 + ... + an| < ε  para todos   n    m    N,

A seqüência das somas parciais é uma seqüência de Cauchy e portanto a série converge. Para os mais interessados, dizem que a série ∑{n/(3n - 1)}2n-1 sai por Cauchy.


11.4 série de Taylor e polinômio de Taylor

Este parágrafo é dedicado ao polinômio, à fórmula e à série de Taylor. Estas maravilhosas ferramentas derivam de dois resultados. Um deles é o o teorema 2, denominado fórmula de Taylor. Este teorema diz que para uma função com n+1 derivadas contínuas em um certo intervalo ao qual pertencem a e x vale a fórmula de Taylor:

 f(x) = Pn(x) + Rn(x)  

onde Pn(x) é o polinômio de Taylor para f centrado em a:

  Pn(x) = f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2) f ''(a) (x-a)2 + ... + (1/n!) f (n)(a) (x-a)n  

e onde o resto da aproximação da função pelo polinômio de Taylor de grau n é dado por:

  Rn(x) = {1/(n+1)!} f (n+1)(ξ) (x-a)n+1  

com ξ entre x e a.

observação: esta fórmula do resto é chamada de fórmula de Lagrange para o resto, existe outra, chamada de fórmula de Cauchy para o resto, que não discutiremos aqui. Apresento-a apenas para informá-los:

  Rn(x) = {1/(n+1)!} f (n+1)(ξ) (x-ξ)n (x - a) 

com ξ entre x e a.

A demonstração da fórmula de Taylor com o resto de Lagrange envolve o teorema fundamental do cálculo e o teorema do valor médio

Vejamos para o caso em que n=2, supomos que f '''(x) é contínua em um intervalo que contém x e a. Empregando algumas vezes o teorema fundamental do cálculo temos:

av f '''(u) du = f ''(v) - f ''(a),
∴ f ''(v) = f ''(a) + ∫av f '''(u) du,
aw f ''(v) dv = f '(w) - f '(a),
∴ f '(w) = f '(a) + f ''(a) (w - a) + ∫awav f '''(u) du dv,
ax f ''(v) dw = f(x) - f(a),
f(x) = f(a) + f '(a) (x - a) + (1/2) f ''(a) (x - a)2 + R2(x),
R2(x) = ∫axawav f '''(u) du dv dw.

E para obtermos a fórmula de Taylor com n=2, basta que simplifiquemos a fórmula do resto. Para tanto empregamos o teorema do valor médio. Como comentamos em aula este último teorema é muito importante na aplicação de multas de trânsito. Veja a quarta questão da prova de admissão para alunos especiais no imecc aplicada no final de 2005.

O teorema do valor médio afirma que se g(t) é contínua em um intervalo ao qual pertencem a e x temos:

ab g(t) dt = g(ξ)(b - a),

onde ξ fica entre a e b. Se pensamos que g(t)=dx/dt é a velocidade de um móvel com equação horária x=x(t), exta expressão pode ser reescrita como:

x(b) - x(a) = x '(ξ) (b - a),

e entendida como a afirmação de que se um móvel tem sua velocidade variando continuamente com o tempo, 'a velocidade média ocorre como velocidade instantânea em algum momento ao longo do percurso' (esta afirmação permite ao guarda, que calculou uma velocidade média com o emprego de um cronômetro, tenha certeza que ela ocorreu como instantânea em algum ponto do percurso).

Aplicamos o teorema do valor médio à primeira das três integrais que aparecem na fórmula do resto e obtemos a simplificação desejada:

R2(x) = ∫axawav f '''(u) du dv dw =
= ∫axaw f '''(ξ) (v - a) dv dw =
= ∫ax (1/2) f '''(ξ) (v - a)2 dw =
= {1/3!} f '''(ξ) (x-a)3.

Até agora falamos em fórmula de Taylor, para passar da fórmula à série, imaginemos por exemplo uma função que tem todas suas derivadas contínuas em um dado intervalo ao qual pertencem a e x, de forma que as fórmulas de Taylor como acima valem para todo n. Então poderíamos pensar na série:

  f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2) f ''(a) (x-a)2 + ... + (1/n!) f (n)(a) (x-a)n + ... 

Em tal série a seqüência das somas parciais seria dada pelas sucessivas aproximações polinomiais de f e dado que:

  Sn = Pn(x) = f(x) - Rn(x)  

...para mostrarmos que a série converge para f(x) basta que mostremos que Rn(x)→0 quando x→∞, então escrevemos:

  f(x) = f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2) f ''(a) (x-a)2 + ... + (1/n!) f (n)(a) (x-a)n + ... 

chamada de série de Taylor para f(x) centrada em x=a.

Tal prova é feita em cada caso e o exercício 49 da lista ao final da seção ajuda muito nesta empreitada. Naquele exercício mostra-se que:

 

lim

 

xn / n!

 

=

 

0.
n→∞ 

Para tanto, dado x escolhemos o inteiro k tal que k > |2x| e portanto |x|/k < 2. Reparem que x e k estão fixos, como n→∞ supomos que n é maior do que k:

|x|n / n! = (|x|k/k!) (|x|/n) (|x|/n-1) ... (|x|/k+2) (|x|/k+1) < (|x|k/k!) (½)n-k → 0.

Para entendermos a convergência a zero do termo acima, façamos um gráfico com os valores de 10n/n! com n variando de 1 a 25:

De 1 até 10 cada um dos fatores de n!=(1)(2)...(n) é menor do que 10 de forma que 10n/n! = (10/1)(10/2)...(10/n) cresce com o aumento de termos, visto que cada termo representa o produto por um número maior do que um. Porém, quando n passa de 10 os novos números multiplicados são menores do que um e cada vez menores, fazendo 10n/n!→0 quando n→∞.

Voltemos ao problema da convergência da série de Taylor. Dado que Rn(x) = f (n+1)(ξ){(x-a)n+1/(n+1)!}, o fator entre chaves deste produto vai a zero pelo exercício 49, assim sendo a convergência da série pode ocorrer ou não dependendo da forma que f (n+1)(ξ) varia com n. Não temos uma fórmula direta para este fator pois sabemos apenas que ξ está entre a e x, porém por vezes podemos encontrar uma cota superior independente de n para este termo, mostrando assim que a série converge.

Consideremos algumas séries, tomando sempre um intervalo contendo a=0 e x. Quando a=0 a série de Taylor também é chamada de série de MacLaurin. No caso da exponencial, do seno hiperbólico e do cosseno hiperbólico podemos mostrar que para qualquer x∈IR fixado, f (n+1)(ξ) ξx, esta majoração independente de n, assim as séries convergem. Para o seno e o cosseno pode-se mostrar que para qualquer x∈IR, f (n+1)(ξ) 1 e suas séries também convergem para cada x fixado.

Notem que de início exigimos apenas que todas as derivadas da função fossem contínuas em um intervalo aberto contendo x e a afim de que pudéssemos escrever a fórmula de Taylor para qualquer n. Isto é o mesmo que dizer que a função pertence à classe C do intervalo. Os senhores deveriam lembrar-se, do Cálculo II, da existência de uma hierarquia de classes de funções tendo como domínio um mesmo aberto do IRn :

  C0  ⊃   Dif  ⊃   C1  ⊃   ... Ck  ⊃   Ck+1  ⊃   ... C ∞      

As funções da Classe C0 são funções contínuas e as funções da classe Dif são diferenciáveis. As funções de classe Ck têm derivadas contínuas até a ordem k. Reparem que as inclusões acima são próprias, existem funções contínuas que não são diferenciáveis e existem funções diferenciáveis que não têm as primeiras derivadas contínuas. A classe C, formada por funções que têm todas as derivadas e portanto têm todas derivadas contínuas no aberto em questão, formam a classe mais restrita até então.

Lembramos do Cálculo II que os teoremas referiam-se sempre a estas classes. Um deles afirmava que derivadas contínuas eram condição suficiente para a diferenciabilidade, outro que segundas derivadas contínuas eram condição suficiente para trocar a ordem das derivadas parciais etc...

As funções que admitem série de Taylor em todos os pontos de um intervalo aberto formam uma classe chamada de classe das funções analíticas, denotada por Cω. Esta classe é mais restrita ainda que a classe das funções C no referido aberto, temos então:

  C0  ⊃   Dif  ⊃   C1  ⊃   ... Ck  ⊃   Ck+1  ⊃   ... C ∞  ⊃   C ω      

e é possível mostrar que esta última inclusão é própria. Esta prova é feita dando-se um contra-exemplo. Isto é, uma função C que não é analítica.

Sabe-se que de uma propriedade que toda função analítica deve ter, se f(x) é analítica em um intervalo aberto J e identicamente nula em outro intervalo aberto I ⊂ J, então é nula em todo J.

Para tanto, tomamos x ∈ J e a ∈ I, escrevemos então a série de Taylor para f(x) centrada em a. Temos:

  f(x) = f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2) f ''(a) (x-a)2 + ... + (1/n!) f (n)(a) (x-a)n + ...  = 0,

pois dado que a ∈ I, um intervalo em que f é identicamente nula, as temos f(a) = f '(a) = ... = f (n)(a) = 0.

Nos textos mais avançados, quando se prova que existem funções C que não são analíticas, a estratégia é mostrar uma função que apesar de ser C em todo um intervalo é identicamente nula num sub-intervalo sem sê-lo no intervalo todo.

Um exemplo muito empregado é g : IR→IR dada por:

g(x) = 0 para x 0 e g(x) = exp(-x -2) para x > 0.

A função dada é C para x < 0 pois neste intervalo é nula, também é nula para x > 0 pois neste intervalo é a composta de funções C, resta verificar em x = 0. Neste ponto as derivadas podem ser feitas pela definição. Estas derivadas serão limites e bastará verificar que estes limites à direita vão para zero, visto que vão para este valor à esquerda. Por exemplo, a primeira derivada à direita é dada pelo limite do quociente de Newton exp(-h-2)/h, que dá zero por L'Hôpital quando h→0+. A enésima derivada pelo limite do quociente de Newton f (n-1)(h)/h quando h→0+, mostra-se, para cada n, que estes limites sempre dão zero, sempre aplicando L'Hôpital.

Espiemos o gráfico desta função:

vejam que é uma colagem de função nula com função positiva.

Bom, estas conversas filosóficas são mais típicas de cursos mais avançados, desculpem-me, tomado por grande furor didático resolvi informá-los sobre estas abobrinhas. Voltemos à vaca fria, espera-se dos senhores que saibam as séries de Taylor das principais funções e suas aplicações ao cálculo, vejamos algumas das séries mais conhecidas:

o comando do matemática para tanto é da forma Series[f(x),{x,a,n}], após digitar a função você deve indicar entre chaves a variável, o ponto em que a série ficará centrada e a ordem. Este comando faz um pouco mais do que nossas séries de Taylor, expande em séries de Taylor formais e também em séries de potências negativas ou racionais quando achar conveniente (as séries envolvendo potências negativas e positivas são chamadas de séries de Laurent):

Quanto ao exercícios que estão nas páginas 155 e 156 sugerimos do 1 até o 7, do 11 até o 13, também 20, 25, 27, 28, 34, 35, 38, 42, 49, 50, 51.


11.5 o teste da integral

A estratégia empregada para mostrar que a série harmônica diverge no 11.3, pode ser empregada para mostrar a divergência de muitas séries de termos positivos. Uma estratégia semelhante pode ser empregada para mostrar a convergência de séries de termos positivos, basta colocar a escadinha por baixo da função auxiliar. Por exemplo, se quiséssemos mostrar a convergência de ∑(1/n2), poderíamos começar por esboçar o gráfico de f(x)=1/x2 em conjunto com a escadinha da série,

vemos que a soma parcial sn=1+(1/2)2+(1/3)2+...+(1/n)2 da série ∑1/n2 é sempre menor do que 1 mais a integral entre 1 e n da função real de variável real dada por f(x)=1/x2. Portanto

sn < 1 + ∫1n{1/x2}dx = 1 + {1 - (1/n)}

e a seqüência {sn} é limitada superiormente por 2, sendo monótona crescente (tem termos positivos), portanto esta seqüência de somas parciais converge, implicando na convergência da série.

No problema 42 da lista ao final do 10.8 E&P mostram como calcular exatamente a soma desta série:

  1 + (1/2)2 + (1/3)2 + (1/4)2 + ... = π2 / 6.

A prova, como verá no 11.8, é cheia de malabarismos, porém o resultado é famoso e ligado ao um setor da teoria de números. Vejam como o mathematica sabe desta história,

Reparem como os modernos softwares de matemática evitam trabalhar numericamente, seus métodos aproximam-se dos nossos, calculam valores exatos sempre que possível e assim evitam propagações de erros.

O argumento acima pode ser modificado para mostrar que:

ζ(p) = 1 + (1/2)p + (1/3)p + ... + (1/n)p + ...

converge para p>1, definindo a função zeta de Riemman (veja o projeto sugerido nas páginas 163 e 164 do E&P ao final do 11.5).

Quanto à conta feita no Mathematica 4.2, para o símbolo de somatória pressionamos a tecla esc, digitamos a palavra sum e pressionamos esc novamente. Para digitar o limite inferior pressionamos antes as teclas control e =(sinal de igual) em conjunto. Após digitarmos o limite inferior pressionamos control e 5 simultaneamente, que assim vamos para o limite superior da somatória. Para digitar o símbolo ∞, esc seguido de inf seguido de esc. Para sair lá de cima control+espaço. Para digitar a fração primeiro digitamos control+/(barra de dividir) e aparecemos no numerador, após digitá-lo pressionamos shift e caímos no numerador. Para digitar o n2 pressionamos control+6 após o n, digitamos o expoente 2 e pressinamos control+espaço para fugir de lá, control+espaço de novo para fugir da fração e shift+enter para o mathematica fazer a conta.

Para quem trabalha com versões antigas, como o Mathematica 2.2, não é possível esta parafernália toda, daí digita-se

Sum[1/(n^2), {n,1,Infinity}]

e depois o shift+enter para fazer a conta. Esta forma também funciona nas versões modernas, não fica tão bonita, porém é mais fácil. O emprego dos softs permite saber os resultados dos exercícios pares do livro! Veja por exemplo o caso da série ∑ln(n)/n, que aparece no exercício 8 da página 162, ao final do 11.5,

Bom, voltemos ao teste da integral, o argumento de E&P é dado pelas figuras 15.5.1 e 15.5.2, uma do lado da outra, na página 158. Numa a escadinha vai por cima, na outra vai por baixo. O teste da integral vale para funções com termos positivos e pode ser assim enunciado:

an e  f(x)   dx    
n=1 1

ambas divergem ou ambas convergem. O teste ainda fornece uma estimativa do erro Rn = S - Sn que cometemos ao aproximar a soma da série por uma das somas parciais:

 f(x)   dx     Rn       f(x)   dx. 
n n + 1

No caso da série ∑ln(n)/n acima temos

1b ln(x)/x dx =
= pondo u=ln(x), du=dx/x =
= ∫0ln(b) u du =
= (½)(ln(b))2 → ∞ quando b → ∞,

levando à conclusão que a série também diverge. O teste da integral também é chamado de teste da integral de Cauchy (muita coisa é de Cauchy nesta área). Cuidado! O teste da integral vale apenas para séries com termos positivos!

Por vezes as séries, em agradecimento, ajudam as integrais impróprias.

Veja a seguinte prova de que a integral ∫0(senx)/x dx converge. Vejamos o gráfico de f(x)=senx/x:

Espiando o gráfico vemos que a área em baixo da curva é uma soma alternada de áreas. Esta área, para x entre 0 e 2nπ, é dada por:

s(n) = ∫02nπ(senx)/x dx =
= a0 - a1 + a2 ... + (-1)nan,
com a0 = ∫0π(senx)/x dx,
ak = ∫(k-1)π|(senx)/x| dx.

Ora, a integral imprópria é o limite de ∫0b(senx)/x dx quando b→∞ e converge se s(n) converge, o que acontece pois s(n) é a seqüência das somas parciais de uma série alternada para a qual não é difícil ver que ak > ak+1 para k>1 e que ak → 0 quando k→∞, pois:

ak = ∫(k-1)π|(senx)/x| dx < ∫(k-1)π 1/x dx =
= (1/2)(π)2{(1/(k-1))2 - (1/k)2} → 0 quando k → ∞.

Veremos no 11.7 que uma série alternada como esta, para a qual o termo geral vai para zero, converge. A estratégia acima permite mostrar que muitas integrais impróprias de funções que oscilam, trocando de sinal, convergem. Esta técnica, para os que se interessarem, é formalizada e estendida através de teoremas no parágrafo 6-22 do texto do Kaplan.

No caso acima ∫0(senx)/x dx pode ser calculada com o técnicas que são estudadas em cursos de variável complexa. Seu valor é π/2.

A integral feita de zero até t define uma função que não pode ser expressa em termos das funções transcendentes elementares, chamada de função seno-integral pelo mathematica. O projeto 11.8 proposto ao final do tópico de mesmo número do E&P versa sobre esta função.

Para digitar a integral no mathematica empregue esc seguido de int seguido de esc, para ir ao extremo inferior pressione control e - (sinal de menos) (repare que é diferente do caso da somatória, quando digitávamos control junto com = (sinal de igual) para ir ao extremo inferior). Para passar do extremo inferior ao superior pressione control e 5 simultaneamente, para digitar o símbolo ∞, esc seguido inf seguido de esc. Para fugir do extremo superior vindo para o integrando pressine control+espaço. Para digitar a fração pressione primeiro control com / (barra de dividir), você irá para o numerador. Após digitá-lo empregue o shift para descer ao denominador e control+espaço para fugir de lá. No diferencial da integral, o 'dezinho' deve ser digitado com esc seguido de dd seguido de esc. Deve-se digitar shift+enter para que o mathematica efetue o comando. A forma

Integrate[f(x), {x,a,b}]

para integrar de a até b funciona em todas versões do programa.

A lista das páginas 162 e 163, ao final do 6.5, começa com uma bateria de aplicações diretas do teste da integral (exercícios 1 até 28). Notem que estes exercícios cobram a sua habilidade de fazer as velhas integrais do Cálculo I. Faça mais ou menos destes exercícios se você precisar mais ou menos de uma revisão de como fazer as integrais. Faça obrigatoriamente os exercícios que vão do 29 até o 31. Também o 36, o 39 e o 40.


11.6 testes de comparação para séries de termos positivos

Este é um parágrafo curto que apresenta dois testes de comparação de séries importantes. Para valerem os testes, tal qual no teste da integral, as séries devem ter apenas termos positivos.

Tanto no primeiro quanto no segundo testes temos duas séries ∑an e ∑bn de termos positivos. O primeiro diz que:

  an bn e ∑bn converge ⇒ ∑an converge  
  an bn e ∑bn diverge ⇒ ∑an diverge  

Diz-se que a maior das séries de termos positivos domina a menor. E&P, após enunciarem este teorema, notando que:

n (n + 1)(n + 2) > n3 para n > 1,
√2n > √(2n - 1) para n > 1,
n! = n (n-1) ... (3)(2)(1) 2n-1,

concluem que as séries ∑{1/n(n+1)(n+2)} e ∑{1/n!} convergem por serem dominadas por ∑{1/n3} e ∑{1/2n-1}, também que a série ∑{1/(√(2n-1))} diverge por dominar a série ∑{√2(1/n½)} (quanto à convergência ou divergência das séries do tipo ∑{1/np}, lembrem-se, decorrem do teste da integral).

O outro teste de comparação, chamado por E&P de teste da comparação na forma de limite e também conhecido como teste de D'Alambert, afirma que para séries de termos positivos:

  se 0 < L = lim{an/bn} <  ∞,
  ∑an e ∑bn ambas divergem ou ambas convergem.  

Este segundo teste é por vezes mais fácil de aplicar que o primeiro numa mesma situação. O exemplo 4 do E&P, quando:

an = {(3n2 + n)/(n4 + √n)} e bn = 1/n2,

pois é fácil verificar que lim{an/bn}=3, mas seria difícil trabalhar com desigualdades neste caso. Lembrem-se que ∑bn=∑1/n2 converge pelo teste da integral, portanto ∑an também congerge.

Para uma série de termos positivos ∑an, decorre do critério de D'Alambert que quando lim{npan}=L:

(i) ∑an diverge se p > 1 e L é finito,
(ii) ∑an converge se p 1 e L ≠ 0 (pode ser ∞).

Vamos ao exercícios, a bateria, do 1 até o 35 que inicia a lista ao final do 2.6, situada nas páginas 168 e 169, vai testar principalmente sua habilidade de fazer limites, dado a maior facilidade do emprego do teste de D'Alambert. Uma vez ou outra o emprego de desigualdades é mais fácil. O estudante deve fazer mais ou menos exercícios desta lista se precisar mais ou menos de uma revisão dos limites que estudou no Cálculo I. Sugiro fortemente o 39 e o 40. Para o aluno mais interessado, não deixe de fazer o 41 e o 42.


11.7 séries alternadas e convergência absoluta

Este longo parágrafo tem vários resultados importantes. O primeiro deles versa sobre séries alternadas, uma série é alternada quando tem a forma:

(-1) n+1 an = a1 - a2 + a3 - ... + (-1) n+1 an + ... 
n=1

Onde an é positivo, reparem an é o módulo do termo da série, que é dado por (-1) n+1 an.

Para uma série alternada em que os módulos dos termos são estritamente decrescentes, com an > an+1, ocorrem três fatos notáveis:

(i) a seqüência formada pelas somas parciais com índice par,

s2 = a1 - a2
s4 = s2 + ( a3 - a4)
s6 = s4 + ( a5 - a6)
...

é sempre crescente.

(ii) a seqüência formada pelas somas parciais com índice ímpar,

s1 = a1
s3 = s1 - ( a2 - a3)
s5 = s3 + ( a4 - a5)
...

é sempre decrescente.

(iii) qualquer soma parcial com índice ímpar é maior do que qualquer soma parcial com índice par, seja o ímpar considerado maior ou menor que o par considerado ...podemos ver isto através dos exemplos:

9 > 4, s9 = s4 + (a5 - a6) + (a7 - a8) + a9 ,

8 > 3, s8 = s3 - (a4 - a5) - (a6 - a7) - a8 .

Por conseqüência destes três fatos temos:

s1 > s3 > s5 > ... > s6 > s4 > s2 .

Sendo seqüências monótonas limitadas, tanto a seqüência das somas parciais com índices pares quanto a dos índices ímpares convergem. A questão é se o ínfimo desta coincide com o supremo daquela. Como

s2n+1 - s2n = a2n+1,

basta que lim{an}=0, isto é, que o termo geral da série tenda a zero, para que tenhamos a convergência da mesma. Desta discussão decorre o resultado:

  se an > an+1 e lim{an}=0, a série alternada ∑(-1) n+1an converge.  

Mais adiante aparece uma estimativa para o erro ao aproximar-se a soma de uma série alternada por alguma soma parcial:

  0 < |Rn| < an+1  

Notem que a soma S da série será simultaneamente o ínfimo da seqüência decrescente das somas ímpares e o supremo da seqüência crescente das somas pares, para cada m, s2m+1 > S > s2m, visto que s2m+1-s2m=a2m+1, o erro ou resto,

Rn = S - sn

fica limitado em módulo por an+1. Reparem que assim definido, este erro ou resto é negativo quando n é ímpar (n=2m+1) e positivo quando n é par (n=2m).

Notem que neste caso a condição necessária para a convergência de uma série qualquer, de que seu termo geral vá para zero, torna-se suficiente. A série harmônica ∑1/n diverge como vimos, mas a série harmônica alternada, ∑(-1) n+1(1/n), converge. Tomando x=1 na série de Taylor de ln(1+x) vê-se que a harmônica alternada converge para ln(2). A bateria de exercícios que vai do 1 até o 10 na página 176 consiste de exercícios em que o resultado acima é aplicado diretamente. Novamente os velhos limites do Cálculo I serão a matéria cobrada.

Depois das séries alternadas o 11.7 trata do importante conceito de séries absolutamente convergentes. Diz-se que uma série ∑an é absolutamente convergente quando ∑|an| converge. Tem-se o resultado:

  ∑|an| converge ⇒ ∑an converge.  

isto é, a convergência absoluta implica em convergência. A série harmônica alternada, convergente, mostra que a implicação inversa não vale, pois então a série dos módulos seria a harmônica, que diverge. A série que é convergente mas não é absolutamente convergente é chamada de série condicionalmente convergente.

A prova apresentada por E&P para este resultado é bem simples e parte da desigualdade:

0 an + |an| 2|an|

Assim, quando ∑|an| converge, seu dobro domina a série de termos positivos an+|an| que também converge, por conseguinte a combinação linear de séries convergentes:

an = {an + |an|} - |an|

também converge.

Notamos que o teste da integral e o teste da comparação do parágrafo anterior referem-se a séries de termos positivos apenas. Por vezes estes critérios podem ser empregados para mostrar a convergência absoluta de uma série, mostrando assim sua convergência.

O exemplo 4 dado por E&P, ∑cos(n)/n2 mostra bem esta estratégia, visto que |cos(n)/n2| 1/n2, a convergência de ∑1/n2 implica na convergência absoluta e portanto na convergência de ∑cos(n)/n2.

Após a introdução à convergência absoluta E&P apresentam dois critérios importantíssimos para o estudo de séries de potências, que será feito nos tópicos 11.8 e 11.9, o teste da razão:

  se existe ρ = lim|an+1/an|,  
  ∑an converge absolutamente se ρ < 1,  
  ∑an diverge se ρ > 1,  

e o teste da raiz:

  se existe ρ = lim{|an+1|}1/n,  
  ∑an converge absolutamente se ρ < 1,  
  ∑an diverge se ρ > 1,  

sobre o caso ρ=1 em ambos os testes nada podemos afirmar.

Apenas para informá-los, existem dois critérios semelhantes aos acima que o livrinho não menciona, o critério de Raabe e o critério de Gauss. Aos interessados, podem encontrá-los no livrinho da coleção Schaum supra-citado, escrito pelo Spiegel.

Sugerimos os exercícios ímpares da bateria que vai do 1 ao 32 na página 172 ao final do 11.7, também os exercícios 35, 39 e 44.


11.8 e 11.9 séries de potências e aplicações ao cálculo


trecho do Kaplan sobre continuidade uniforme


Mãos à obra prezados alunos. Sei que os senhores são muito inteligentes, reajam! Não quero vê-los como bebês chorões após a prova final. O ditado brega diz que devemos agir na "hora G", na "hora H" já será tarde demais.

Saudações. Márcio.