RESUMO

O objetivo deste trabalho é relacionar a Axiomática de Hilbert à Axiomática utilizada no livro texto da disciplina MA241 [1], que foi proposta por Birkhoff; de modo que ao examinar os axiomas propostos por Hilbert possa ser feito um paralelo com os que foram propostos durante o curso, para que a compreensão daqueles seja efetiva. Inicialmente apresentamos uma visão histórica e as motivações que levaram a tal estudo axiomático.

1 INTRODUÇÃO

David Hilbert foi um matemático alemão que nasceu em 1862 na região de Königsberg. Lá, iniciou seus estudos sendo nomeado em 1895 para Göttingen, onde ele ensinou até se aposentar, em 1930. Hilbert é freqüentemente considerado como um dos maiores matemáticos do século XX, no mesmo nível de Henri Poincaré. Devemos a ele principalmente a lista de 23 problemas, alguns dos quais não foram resolvidos até hoje, que ele apresentou em 1900 no Congresso Internacional de Matemática em Paris.

Suas contribuições à Matemática são diversas :

· Consolidação da teoria dos invariantes, que foi o objeto de sua tese.

· Transformação da geometria euclidiana em axiomas, para torná-la consistente, publicada no seu Grundlagen der Geometrie (Bases de geometria).

· Trabalhos sobre a teoria dos números algébricos, retomando e simplificando, com a ajuda de seu amigo Minkowski, os trabalhos de Kummer, Kronecker, Dirichlet e Dedekind, e publicando-os no seu Zahlbericht (Relatório sobre os números).

· Criação dos espaços que levam seu nome, durante seus trabalhos em análise sobre as equações integrais.

· Contribuição para as formas quadráticas, bases matemáticas da Relatividade de Einstein.

O texto usado neste trabalho, Foundations of Geometry (Grundlagen der Geometrie no original), foi publicado por Hilbert em 1899 substituindo os axiomas tradicionais de Euclides por um conjunto mais formal, evitando as “fraquezas” encontradas na argumentação daquele. Ainda assim, o texto de Euclides é usado como livro texto padrão.Um fato curioso é que ao mesmo tempo que Hilbert, mas independentemente, o estudante americano de 19 anos Robert Lee Moore publicou um conjunto de axiomas equivalentes aos de Hilbert.

A abordagem de Hilbert marca a transição para o método axiomático moderno, no qual axiomas agora não são mais verdades auto-evidentes. Apesar da Geometria tratar de objetos a respeito dos quais temos forte intuição, não se faz necessário ter significado explícito para conceitos indefinidos tais como o ponto, a reta, o plano e as relações de pertinência, congruência e “estar entre”. Segundo Hilbert não era mais necessário tratar dos objetos comuns à geometria (reta, ponto e plano), podendo substituí-los por objetos cotidianos. A discussão, entretanto, não se baseia nos objetos mas sim nas relações entres eles estabelecendo o que chamamos de axiomas de incidência, ordem, congruência, paralelismo de retas e continuidade.

2 A GEOMETRIA SEGUNDO HILBERT

2.1 Panorama Histórico e Motivação

Lembrando o que é um sistema axiomático, ele deve satisfazer as três condições seguintes: ser consistente, quer dizer, os postulados não podem contradizer uns aos outros, por si mesmos ou por suas conseqüências; deve ser completo, no sentido de serem suficientes para provar verdadeiras ou falsas todas as proposições formuladas no contexto da teoria em questão; e, por fim, cada postulado deve ser independente dos demais, no sentido de que não é conseqüência deles, sob pena de ser supérfluo.

2.1.1 Método axiomático

Após vários matemáticos haverem exibido modelos euclidianos das geometrias não-euclidianas, estas ganharam total credibilidade. Provava-se que elas eram consistentes, isto é, livres de contradições internas. Mas tais provas apoiavam-se na geometria euclidiana, de sorte que elas tornavam ao mesmo tempo evidente a necessidade de provar a consistência da própria Geometria de Euclides. Os matemáticos começaram então a estudar a consistência dos postulados de Euclides, e logo perceberam que eles eram insuficientes para provar os teoremas conhecidos, sem falar nos demais que viessem a ser considerados no futuro.

Analisando os Elementos sob esse novo ponto de vista, eles descobriram que a axiomática euclidiana era incompleta e continha sérias falhas. Euclides, em suas demonstrações, apelava para fatos alheios aos postulados e em outros casos colocava como postulado fatos que não tinham justificativa para tal, isto é mencionado pelo próprio Hilbert no texto. Era, portanto, necessário reorganizar a própria geometria euclidiana, suprindo, inclusive, os postulados que estavam faltando. Isso foi feito por vários matemáticos no final do século XIX, dentre eles Hilbert no livro texto, no qual ele faz uma apresentação rigorosa de uma axiomática adequada ao desenvolvimento lógico-dedutivo da geometria euclidiana.

2.1.2 Os fundamentos da matemática

Paralelamente ao que acontecia em Geometria, as preocupações com o rigor se faziam presentes também na Análise Matemática a partir de aproximadamente 1815. Os desenvolvimentos que vinham ocorrendo na Geometria, na Álgebra e na Análise durante todo o século XIX convergiram, no final do século, para uma preocupação com os fundamentos de toda a Matemática. Por duas razões importantes, os matemáticos acabaram se convencendo de que todas as teorias matemáticas teriam de se fundamentar, em última instância, nos números naturais.

De um lado, os números complexos, os números reais, os racionais e os inteiros puderam ser construídos, de maneira lógica e consistente, uns após outros, começando nos números naturais. De outro lado, Hilbert estabelecera uma correspondência entre os elementos geométricos do plano - pontos, retas e círculos - com os entes numéricos da geometria analítica. Os pontos podem ser caracterizados por pares ordenados de números reais, e as retas e círculos por suas equações. Isso permitiu reduzir o problema da consistência da Geometria à consistência da Aritmética. Provando-se a consistência desta, ficaria também provada a da Geometria. Assim, a Geometria, que desde a Antigüidade era considerada o modelo de rigor lógico, estava agora dependendo da própria Aritmética para sua efetiva fundamentação.

2.2 A axiomática de Hilbert

Agora trataremos de relacionar a Axiomática de Hilbert à Axiomática utilizada no livro texto [1] da disciplina em questão. Tendo em vista uma linguagem clara e concisa vamos chamar de Postulados os Axiomas do livro texto acima citado; eles serão numerados exclusivamente com algarismos indo-arábicos.

2.2.1 Grupo I - Axiomas de Incidência

I₁ – Para cada dois pontos A e B existe uma reta a que contém ambos pontos A e B;

I₂ – Para cada dois pontos A e B não existe mais de uma reta que contém ambos A e B;

Note que esses dois axiomas juntos equivalem ao Postulado 1, uma vez que um deles trata da existência e o outro da unicidade.

I₃ – Existem pelo menos dois pontos sobre uma reta. Existem pelo menos três pontos que não estão na mesma reta.

Este Axioma equivale exatamente aos Postulados 2 e 3.

I₄ – Para quaisquer três pontos A, B e C que não estão numa mesma reta existe um plano a que contém todos os três A, B e C. Para cada plano existe um ponto contido nele;

I₅ – Para quaisquer três pontos A, B e C que não pertencem a uma mesma reta não existe mais do que um plano que contém cada um dos três pontos;

I₆ – Se dois pontos A e B de uma reta a pertencem a um plano a então cada ponto da reta a pertence a a;

I₇ – Se dois planos a e β têm um ponto em comum A então eles têm pelo menos mais um ponto B em comum;

I₈ – Existem pelo menos quatro pontos que não pertencem ao mesmo plano.

Os cinco últimos Axiomas referem-se à Geometria Espacial na qual não temos interesse no momento.

2.2.2 Grupo II - Axiomas de Ordem

II₁ – Se um ponto B está entre dois outros pontos A e C então A, B e C são três pontos distintos de uma reta, e então B também está entre C e A;

Este axioma apenas trata da reflexividade do conceito de um ponto estar entre outros dois. Não há equivalente entre os postulados estudados.

II₂ – Para dois pontos A e B, sempre existe pelo menos um ponto C na reta AB tal que B está entre A e C;

Este axioma coincide com o item (1) do teorema 1.7 da literatura.

II₃ – De quaisquer três pontos sobre uma reta não existe mais de um entre os outros dois;

Sendo que o teorema 1.6 de [1] trata da unicidade mencionada neste axioma ele ainda garante a existência, e isto é demonstrado num outro teorema proposto por Hilbert.

II₄ – Sejam A, B e C três pontos que não estão na mesma reta e seja a uma reta no plano ABC que não encontra nenhum dos pontos A, B e C. Se a reta a passa por um ponto do segmento AB então, ela passa por um ponto do segmento BC ou por um ponto do segmento AC.

Este axioma foi mencionado no exercício 1.10 como o Postulado de Pasch, o qual foi utilizado por Pasch em seu trabalho substituindo o Postulado da Separação do Plano. Este é apresentado por Hilbert como teorema que decorre exclusivamente deste axioma, sendo sua equivalência garantida. Intuitivamente a idéia do axioma é de se uma reta entre no interior do triângulo ela deve sair dele.

Alguns resultados interessantes e comentários:

· O resultado do item (3) do teorema 1.7 também é demonstrado num teorema de [2] e sua demonstração torna-se complicada com o uso dos axiomas de incidência e ordem, coisa que não ocorre na demonstração do teorema 1.7 uma vez que este utiliza propriedades de ordem e completude dos números reais (Postulado da Reta).

· “Dados quatro pontos sobre uma reta, sempre é possível denominá-los A, B, C, D de modo que A-B-C, A-B-D, A-C-D e B-C-D.” Este teorema, e também uma generalização dele para n pontos, lembram o Postulado da Colocação da Régua por mencionar um sistema de coordenadas com origem e não deixa de considerar o conceito de “estar entre”.

· Também é enunciado um teorema de Separação do Espaço por um plano, cuja demonstração segue exclusivamente dos axiomas considerados até então, portanto os axiomas do grupo II são completos até mesmo para a geometria espacial.

2.2.3 Grupo III - Axiomas de Congruência

III₁ – Se A e B são pontos sobre uma reta a, e A’ é um ponto sobre qualquer reta a’ então sempre é possível encontrar um ponto B’ num dado lado da reta a’ por A’ tal que

ABA’B’;

III₂ – Se A’B’AB e A”B”AB então A’B’A”B”;

III₃ – Sobre a reta a sejam AB e BC segmentos tais que B é o único ponto em comum entre eles. Além disso, sobre qualquer reta a’ sejam A’B’ e B’C’ segmentos tais que B’ é o único ponto em comum entre eles. Sendo assim, se ABA’B’ e BCB’C’ então ACA’C’;

Estes três axiomas, ditos lineares, enunciam as propriedades do conceito de congruência, a saber a existência de um segmento congruente numa reta distinta dado um ponto, transitividade e aditividade de segmentos.

Na definição de ângulo de Hilbert os lados do ângulo são tratados de raios e a consideração de medida de ângulo é dada no máximo para o ângulo reto.

III₄ – Sejam Ð(h,k) um ângulo no plano a, a’ uma reta no plano a’ e dado um lado definido da reta a’. Seja h’ um raio sobre a reta a’ que sai do ponto O’. Então existe no plano a’ um único raio k’ tal que

Ð (h,k) Ð (h’,k’)

Todo ângulo é congruente a si mesmo;

III₅ – Se para dois triângulos ABC e A’B’C’ valem as congruências

ABA’B’, ACA’C’, ÐBACÐB’A’C’,

Então também vale

ÐABCÐA’B’C’.

No caso destes dois axiomas, considerados no plano, vale observar que o primeiro admite a possibilidade de serem construídos ângulos congruentes e ainda dá a unicidade da construção, e que o segundo não diz nada sobre a congruência de triângulos, mas prepara para essa parte da teoria.

Alguns resultados interessantes e comentários:

· A unicidade da construção de um segmento segue da unicidade da construção de um ângulo, utilizando para isso os axiomas III₅ e III₄, nesta ordem;

· Todos os resultados de congruência de triângulos, mesmo os postulados, são teoremas propostos por Hilbert;

· “Sejam h,k,l e h',k',l' raios partindo de O e O', respectivamente. Sejam h,k e h',k' simultaneamente no mesmo lado ou em lados diferentes de l e de l', respectivamente. Se valem as congruências Ð (h,l) Ð (h’,l’) e Ð (k,l) Ð (k’,l') então valem Ð (h,k) Ð (h’,k’).” Este teorema, para o caso em que h,k e h',k' estão em lados diferentes de l e de l' respectivamente, equivale ao Postulado da Adição de Ângulos;

· “Sejam Ð (h,k) e Ð (h',l') quaisquer. Se a construção de Ð (h,k) em h' do lado de l' leva a um raio interior k' então a construção do Ð (h',l') em h do lado de k leva a um raio exterior l, e vice-versa.” Deste teorema são obtidas a tricotomia e a transitividade da comparação quantitativa de ângulos. No caso de segmentos, as propriedades correspondentes para a sua comparação quantitativa segue imediatamente dos axiomas do grupo II, de III₁-III₃ e da unicidade da construção do segmento.

2.2.4 Grupo IV - Axiomas das Retas Paralelas

IV – (Axioma de Euclides) Seja a uma reta e A um ponto que não esteja sobre a. Então existe no máximo uma reta no plano, determinado por a e A, que passa por A e não intersecciona a.

Este axioma, considerado no plano, coincide com o Postulado das Paralelas e Hilbert menciona o ítem b) do teorema 4.9 de [1] como sendo equivalente a este axioma.

Alguns resultados interessantes e comentários:

· O Axioma das Paralelas simplifica a fundamentação da Geometria facilitando seu desenvolvimento a um nível considerável;

· “Se duas retas paralelas intersecciona uma terceira então os ângulos correspondentes e os alternados são congruentes; reciprocamente, a congruência dos ângulos correspondentes ou dos alternados implica que as retas são paralelas.” Existe em [1] o ítem a) do Teorema 4.9 que expressa parte do conteúdo deste acima;

· O Teorema 4.10 decorre do Axioma das Paralelas junto dos Axiomas de Congruência, excluindo apenas a informação de que dois ângulos retos somam 180.

2.2.5 Grupo V - Axiomas de Continuidade

V₁ – (Axioma de medida ou Axioma de Arquimedes) Se AB e CD são quaisquer segmentos então existe um número n tal que n segmentos CD construídos contiguamente apartir de A, ao longo do raio de A até B, vai passar além de B.

V₂ – (Axioma da completude da reta) Uma extensão de um conjunto de pontos sobre uma reta e suas relações de ordem e congruência que preservem as relações existentes entre os elementos originais tanto quanto as propriedades fundamentais de ordem e congruência da reta, que seguem dos axiomas I-III e de V, é impossível.

No caso desses dois últimos axiomas, lineares, não existe correspondência com nenhum postulado, porém o segundo relaciona-se com o Postulado da Régua permitindo agora que possamos utilizar as propriedades dos números reais assim como o Postulado da Régua o faz.

Alguns resultados interessantes e comentários:

· Para que V₂ seja satisfeito é necessário que o conjunto de axiomas cuja validade ele requer contenha o Axioma V₁, mesmo não sendo uma consequência dele;

· Pode ser enunciado um Teorema de completude que engloba todos os elementos de geometria sendo este uma espécie de generalização do axiomaV₂ que trata da completude da reta.

· A validade de alguns dos axiomas mencionados não são requeridos incondicionalmente para o Teorema de Completude mencionado. Entretanto, é essencial para sua validade que o axioma I7 esteja contido entre os axiomas cuja persistência é requerida;
CONCLUSÃO

Através das comparações feitas foi possível perceber que Hilbert é bastante minucioso em suas colocações e demonstrações o que torna essas últimas muitas vezes complexas comparadas às demonstrações que tínhamos estudado em [1]. Porém, não há dúvida que o conjunto de axiomas proposto por Hilbert é completo e coerente. A preocupação de Hilbert era fazer um trabalho bem feito sob o ponto de vista lógico, tanto que na introdução do seu livro ele diz que “estabelecer os axiomas da Geometria é equivalente a análise lógica da nossa percepção do espaço.”

Existem certos axiomas que ele apresenta os quais em conjunto determinam um único Postulado em [1]. Em contrapartida, certos axiomas são colocados como teoremas em [1] ou somente são citados como itens de teoremas o que mostra que aquilo que antes era considerando a origem para próximos resultados na verdade tornou-se uma informação dependente de algum outro conceito previamente discutido. Do ponto de vista dos resultados obtidos o conjunto de axiomas é equivalente aos postulados de [1].

4 BIBLIOGRAFIA

[1] Rezende, Eliane Q. F. e de Queiroz , Maria Lúcia B., Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas, Ed. UNICAMP, 2000;

[2] Hilbert, David, Foundations of Geometry, Open Court, 1990;

[3] Eves, Howard, História da Matemática, Ed. UNICAMP, 1995;

[4] www.wikipedia.org;

[5] www.rpm.org.br/novo/conheca/45/1/euclides.