Meu nome é Ricardo Biloti. Sou professor do IMECC/Unicamp, onde fiz meu mestrado e doutorado. Durante o mestrado em Matemática Aplicada trabalhei com fractais, tendo desenvolvido um método chamado Reconstrução Fractal de Sinais. Vou tentar nessa página fazer uma breve descrição dos fractais com os quais trabalhei. Espero que isto sirva de guia ou referência para quem tiver algum interesse nesta área.

Existem vários tipos de “fractais”. Na verdade, nem mesmo há um concenso sobre o que significa essa palavra. Durante meu mestrado, trabalhei com fractais do tipo IFS (Iterated Function System ou Sistema Iterativo de Funções). Para que se possa entender essa classe de fractais é necessário algum conhecimento em Espaços Métricos. Topologia e Teoria da Medida também são bem vindas, mas não estritamente necessárias, para um nível introdutório. Sendo assim, assumirei para a próxima seção que o leitor tem alguma noção em Espaços Métricos. Se quiser pule-a e vá direto para os exemplos abaixo.

Breve introdução teórica

A idéia é que um fractal tipo IFS nada mais é do que o ponto fixo de uma contração. As questões são “que contração” e “em que espaço”. Comecemos pelo espaço. Suponha que você queira construir fractais que sejam “figuras” no plano. Logo seu fractal é um subconjunto do R². Considere assim o Espaço de Hausdorff, definido por

H(R²) = {A ⊂ R² | A é compacto e não vazio}

com a métrica de Hausdorff, dada por

h(A,B) = max{ D(A,B), D(B,A) }

onde D(A,B) = max_{x ∈ A} min_{y ∈ B} d(x,y), e d(⋅,⋅) é uma métrica em R².

Pode-se mostrar que o espaço métrico (H(R²),h) é de fato um espaço métrico e, além disso, é completo. Dessa forma, se W: H(R²)→H(R²) for uma contração, então W tem um único ponto fixo X em H(R²), ou seja, existe um único X em H(R²) tal que

W(X) = X.

Esse resultado é conhecido como Teorema do Ponto Fixo de Banach.

Recordando, damos o nome de contração num espaço métrico (M,d) a uma aplicação ƒ: M→M se, para todo x,y ∈ M,

d(ƒ(x),ƒ(y)) ≤ s ⋅ d(x,y)

onde 0 ≤ s < 1. s é o chamado fator de contração.

Ao ponto fixo X de W, damos o nome de Fractal. Note que como X ∈ H(R²), X é um subconjunto de R². Tudo isso é verdade se trocarmos R² por qualquer outro espaço métrico completo, onde queiramos construir nossos fractais.

Quem tiver interesse em trabalhar com IFS deveria começar estudando espaços métricos. O primeiro livro que eu usei, quando ainda estava no primeiro ano de graduação em Matemática Aplicada, na Unicamp, foi um livro de Domingues H. Higino, Espaços Métricos e Introdução à Topologia, da EDUSP, 1982. Tem a vantagem de ser básico, contendo praticamente todo o necessário para a compreensão do assunto. (Foi simples o suficiente para que eu, no meu primeiro ano de faculdade, conseguisse lê-lo!) Se o leitor passou por essa fase (e isso não é muito difícil, apesar de ser trabalhoso) o próximo passo seria começar a trabalhar com um livro sobre IFS mesmo. O que eu usei e recomendo é o livro de Michael Barnsley (o dono do tema), chamado Fractals Everywhere, da Academic Press. Os primeiros capítulos também são sobre teoria básica, como Espaços Métricos, mas já com um enfoque especial. Por isso é melhor uma certa familiaridade nessa hora. Estudando esse livro, a pessoa já deverá ter toda a base para começar a trabalhar de verdade com fractais.

Discussão e exemplos

O primeiro exemplo de IFS é conhecido como Folha de Samambaia. Ela pode ser vista no topo dessa página. Esse IFS é muito famoso pela impressão de realidade que passa. Foi apresentado pela primeira vez no artigo inaugural sobre IFS, de Michael Barnsley et. al., em 1986. Nesse artigo, Barnsley demonstrou um teorema chave, conhecido como Teorema da Colagem.

O que o Teorema da Colagem nos diz é que um fractal tipo IFS é formado pela colagem de várias partes que por sua vez são todas bem similares ao fractal todo. Repare que na folha de samambaia, cada folhinha é uma cópia da folha toda. É com a ajuda do Teorema da Colagem que podemos inventar fractais tão elaborados. Muitos foram usados em animações ou para compor cenários gerados por computador. Uma forte aplicação é na compressão de imagens. Parece que o próprio Michael Barnsley, fundou uma empresa que cria e comercializa softwares para compressão.

Outra maneira de se construir fractais é por processos geométricos repetidos a exaustão. Por exemplo, imagine um segmento de reta. Divida-o em três parte iguais. Sobre o terço médio, coloque um triângulo equilátero, apagando posteriormente sua base. Repita esse processo novamente para para seguimento de linha que compor a figura. Fazendo isso infinitas vezes, chegaremos a um fractal conhecido como curva de Koch. As primeiras etapas desse processo podem ser vistas na próxima figura. Esse fractal também pode ser construído usando-se IFS. Basta observar que essa figura pode ser decomposta em 4 pedaços que são iguais a figura toda (quais são?). Mais uma característica impressionante desse fractal é que, como é facil de ver, ele é uma curva no plano, com duas extremidades, uma a esquerda e outra a direita. Obviamente a distância que separa esses dois pontos é finita. Além disso, todo o fractal está contido numa região finita do plano. Suponha que queiramos ir da extremidade esquerda para a direita andando sobre a curva de Koch, com uma certa velocidade. Pode-se mostrar que nunca se chegará à outra extremidade. Ou seja, essa curva tem comprimento infinito, apesar de estar numa região finita. Estranho, não?

Uma propriedade bem diferente dos fractais (dai vem seu nome), é que eles não possuem dimensão inteira. Por exemplo, a curva de Koch, é uma “linha”, portanto poderíamos pensar que tem dimensão 1, mas ao mesmo tempo é infinita, estando numa região finita do plano, poderíamos achar então que sua dimensão é 2. Na verdade, a dimensão é algo entre 1 e 2 (1.2619…). Essa poderia ser outra maneira de definir fractais: se o objeto tem dimensão não inteira, então ele é um fractal. Isso e a definição da seção anterior não são equivalentes, mas dependendo do que se quer fazer, usa-se uma ou outra.

Até agora só falamos sobre IFS. Existem muitos outros tipos de fractais. Uma classe importante são os gerados pela solução de equações não lineares. Mas o que é uma equação não linear? É mais fácil explicar o que é uma equação linear. É uma equação que possui apenas constantes somadas ou subtraidas de constantes multiplicadas pela incógnita (o x da questão). Por exemplo: 3x + 4 = 0. Se não for assim, não é linear. Exemplos: x² -1 = 0, sin(x) - x = 0, 1/x + 3 = x³, etc. Como essas equações são mais difíceis de resolver, os matemáticos inventaram vários métodos para pelo menos aproximar suas soluções. O mais famoso é o Método de Newton (o mesmo Newton da Física). Quando fazemos gráficos, colorindo as várias tentativas do Método de Newton resolver uma equação não linear, muitas vezes conseguimos fractais. Quem começou a estudar esse tipo de fractal (nos tempos modernos) foi o matemático Benoit Mandelbrot, conhecido como pai dos fractais. Foi a partir dos estudos de Mandelbrot que a Geometria Fractal despontou como uma área nova da Matemática. Antes dele houve outros (Henon, Pierre Julia, etc), mas não souberam concentrar suas descobertas para a formação desse ramo novo.

Onde procurar mais informações

Como já comentamos, sobre IFS, um livro excelente para iniciar é o de Michael Barnsley, Fractals Everywhere, da Academic Press. O artigo citado, sobre o Teorema da Colagem, é de M. F. Barnsley, V. Ervin, D. Hardin e J. Lancaster, Solution of an Inverse Problem for Fractals and Other Sets, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 83 (Mathematics), pp 1975-1977, 1986. Um livro mais avançado é o de G. A. Edgar, Measure, Topology and Fractal Geometry, Springer Verlag, 1990.

Para quem quiser inventar seus próprios fractais, fiz o programa ifsplot (para Linux). Com ele você pode criar IFS e vizualizar o fractal gerado.

Na internet existem muitas páginas sobre fractais. Um programa antigo e muito popular (na sua época) é o Fractint. Ele permite fazer dezenas de fractais diferentes, e não apenas os pré-definidos. Cynthia Lanius mantém página dedicada a estudantes secundaristas. Na página Absynth Fractals você pode encontrar uma breve introdução ao tema e alguns fractais bem artisticos.

Glossário

Espaço métrico é um par (M,d), formado por um conjunto não vazio M, e uma métrica d.

Métrica é qualquer função d:MxM→R₊, que cumpre as seguinte condições: Para quaisquer x,y,z ∈ M

1. d(x,y) = 0 se e somente se x = y,
2. d(x,y) = d(y,x),
3. d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y).

Espaço métrico completo é um espaço métrico com a propriedade de que toda seqüência de Cauchy neste espaço é convergente.

Dizemos que uma {x_k} é uma seqüência de Cauchy se, dado ε > 0, existir um natural N tal que

d(x_n,x_m) < ε, para todo n,m ≥ N.

Um conjunto A é compacto se toda seqüência formada por pontos de A admitir subseqüência convergente. Em espaços de dimensão finita é possível mostrar que um conjunto é compacto se e somente se o conjunto for fechado e limitado.