Se você é aluno, já deve estar cansado de ouvir sobre relações métricas de um triângulo retângulo não é? Se não, fique tranquilo, estamos aqui para ajudar.
Se você é professor, deve estar procurando por algum material interessante que sirva de ferramenta para ensinar o ilustre TEOREMA DE PITÁGORAS. E que tal usarmos algumas ferramentas interessantes e visuais? Então vamos nessa!
Vamos começar com um breve resumo de algumas propriedades que vão servir de base em nosso estudo de relações métricas no triângulo retângulo.
Introdução
Dizemos que um triângulo é retângulo quando ele possui um ângulo reto (de medida 90º).
Note que como a soma dos ângulos internos de um triângulo é SEMPRE 180º, não é possível que um triângulo tenha dois ângulos retos.
Além disso, o lado do triângulo diretamente oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, e os outros dois lados são os catetos. Na imagem, a hipotenusa é o lado “a”.
Com isso, podemos enunciar o Teorema de Pitágoras:
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Em termos matemáticos, isto significa que:
Sabemos que também representa a área de um quadrado de lado
. Então podemos interpretar essa igualdade geometricamente. Para isso, preparamos um applet no Geogebra para que você possa manipular os objetos, e um video que pode ser muito útil:
Gostou do Geogebra? Se sim, visite o caderno de atividades “Proof without words”. Lá você encontra diversas atividades mostrando de diferentes formas que o Teorema de Pitágoras é valido. Vale a pena usar em sala de aula!
Algumas curiosidades
Vamos começar com o fato de Pitágoras não “criou” o teorema de Pitágoras. O QUE??
Sim, isso é sério. E como foi que você nunca ouviu isso? Calma, Pitágoras demonstrou sim o Teorema que leva o seu nome, porém não foi o único, e também não foi o primeiro a utilizar a relação. Os indícios são de que Pitágoras desenvolveu o teorema por volta de 500 AEC (Antes da Era Comum).
Segundo o historiador Walter Carnielli, professor de história da ciência, da Universidade Estadual de Campinas foram feitas outras 370 provas do teorema sendo a afirmação matemática que mais recebeu demonstrações.
Além disso,”O filósofo grego não foi o primeiro a perceber a relação. Indianos, egípcios e babilônios já usavam essas triplas de números (que formam um triângulo retângulo) há pelo menos mil anos”, afirma o historiador Dick Teresi, em seu livro Lost Discoveries (Descobertas Perdidas).
Os hindus, por exemplo, os utilizavam entre 800 e 600 AEC, para desenhar triângulos e trapézios, consideradas figuras nobres, nos altares de cemitérios, em reverência aos deuses.
A prova de que o teorema era conhecido antes de Pitágoras vem dos babilônios e data de 1800 a.C. “É um pedaço de barro conhecido por Plimpton 322, mantido na Universidade de Columbia, nos Estados Unidos. Ali, estão gravados centenas de números alinhados três a três. Para entender a relação entre os números, basta aplicar o teorema do triângulo reto. Um deles, é sempre o quadrado da soma dos quadrados dos outros dois”, afirma Walter.
Uma demonstração formal
Agora, como marca registrada da matemática, precisamos demonstrar o teorema. Antes de começar a demonstração, vamos relembrar a definição de triângulos semelhantes:
Definição : dois triângulos são ditos semelhantes se, e somente se, existe uma correspondência biunívuca, que associa os vértices de um triângulo aos vértices do outro triângulo, onde
- Ângulos com vértices correspondentes são congruentes;
- Lados opostos a vértices correspondentes têm medidas proporcionais.
Demonstração
Considere o triângulo retângulo ABC.
Sejam h a altura do triângulo relativa à hipotenusa a, n a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa, e m a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa. Deste modo, podemos considerar 3 triângulos: .
Note que estes três triângulos são semelhantes, pelo caso AA de semelhança (dois ângulos congruentes). Então obtemos:
e então temos:
e então temos:
e então temos:
De (3) e (6), segue que:
mas veja que , logo,
como queríamos.
Importante: essas 9 relações que encontramos não servem apenas para demonstrar o Teorema de Pitágoras. Você pode usá-las para resolver diversos problemas de Geometria Plana que envolvem triângulos retângulos.
Quer conhecer outras demonstrações do Teorema de Pitágoras? Preparamos uma pagina especial pra você, vem conferir!
Aplicações
As aplicações desse importante teorema geralmente envolvem problemas com triângulos retângulos em que desejemos encontrar a medida de um lado deste triângulo ou de algum outro relacionado, que e desconhecida. Por exemplo:
Num triângulo isósceles ABC, de lados iguais a AB = AC = 5 e BC = 8, encontre a distância entre o ponto médio M do segmento BC e um dos catetos.
Geometricamente temos:
Lembre que distância entre um ponto e uma reta é dada pelo comprimento do segmento que une esse ponto à reta, e é perpendicular a ela. Primeiramente vamos encontrar o valor de h, que corresponde à altura do triângulo ABC. Sabendo que o triângulo é isósceles, temos que MC = 4 e usando Pitágoras:
Lembrando da relação (1) que obtemos acima, temos no triângulo ACM:
Fontes:
BONUMÁ, T. VAINDINER, R. Pitágoras não criou o Teorema de Pitágoras. Disponível em: <https://aventurasnahistoria.uol.com.br/noticias/almanaque/pitagoras-nao-criou-o-teorema-de-pitagoras.phtml>. Acesso em 20 de janeiro de 2020.
QUILHAIS, Kleber. Relações métricas no triângulo retângulo. Disponível em: <https://www.obaricentrodamente.com/2015/04/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo.html>. Acesso em 2o de janeiro de 2020.