Teorema de Euler para Poliedros

Um problema de topologia

Quem foi Leonhard Euler

Euler, que hoje é bastante conhecido por suas grandes contribuições nas ciências, foi um  matemático suíço nascido em Basiléia em 15 de abril de 1707.

Tendo como pai um excelente matemático e um pastor luterano, formou-se aos 16 anos na Universidade da Basiléia tendo sido aluno de John Bernoulli, que na época era conhecido como um dos maiores matemáticos da Europa.

Na universidade se tornou próximo dos filhos de Bernoulli, Daniel e Nichols e, mesmo após ter se formado, Euler continuou estudando teologia, línguas orientais e medicina. 

Convidado por Catarina l, foi lecionar Física na Universidade de São Petersburgo, transferindo-se para lá em 1727. Três anos depois, assumiu também a cadeira de matemática, que recebeu do amigo Daniel Bernoulli.

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Leonhard Euler

Com o intenso frio da Rússia e sua grande devoção aos estudos, Euler teve sua saúde bastante prejudicada, até que em 1741 ficou cego de um olho, e no mesmo ano, transferiu-se para Berlin, onde permaneceu até 1776, quando retornou à Rússia e foi sucedido por Lagrange. Por fim, ao prazo de 2 ou 3 anos de seu retorno, ficou totalmente cego. [1]

Dentre as grandes contribuições de Euler na matemática e física, estão a introdução da função gama, a analogia entre o cálculo infinitesimal e o cálculo das diferenças finitas, a formalização do Cálculo Diferencial e Integral (da época), e o estudo pioneiro das funções trigonométricas seno e cosseno. Euler também se aventurou no estudo das linhas de curvatura e começou a desenvolver um novo ramo da matemática denominado Geometria Diferencial. Durante sua permanência em Berlim, Euler escreveu mais de 200 artigos sobre Física, Matemática e Astronomia e três livros de análise matemática.

Quando morreu em setembro de 1783 na Rússia, ainda atuando amplamente na matemática, Euler já era conhecido por toda a Europa e foi considerado o mestre dos matemáticos do século XVIII.

O Teorema de Euler para Poliedros Convexos

Já no ensino básico vimos e usamos diversas vezes aquela “formulazinha” que relaciona os vértices, faces e arestas de um poliedro convexo né?

Considerando que conforme o número de faces de um poliedro aumenta, fica mais difícil determinarmos o número de vértices e arestas, em algum momento os matemáticos buscaram por uma fórmula fechada que pudesse determinar essas quantidades de uma maneira mais geral.

Então, antes de apresentarmos as demonstrações e discussões, vamos definir primeiramente alguns conceitos [2]:

Definição:

Uma superfície poliédrica limitada convexa é a reunião de um número finito de polígonos planos e convexos (ou regiões poligonais convexas), de modo que:
  • dois polígonos não estão num mesmo plano;
  • cada lado de um polígono é comum a dois e apenas dois polígonos;
  • havendo lados de polígonos que estão em um só polígono, estes devem formar uma única poligonal fechada, plana ou não, chamada contorno;
  • o plano de cada polígono deixa todos os outros polígonos num mesmo semi-espaço (condição de convexidade).
 
As superfícies poliédricas limitadas convexas que tem contorno são chamadas abertasAs que não têm, fechadas.
 
Os elementos de uma superfície poliédrica limitada convexa são:
  • as faces: são os polígonos;
  • as arestas: são os lados dos polígonos;
  • os vértices: são os vértices dos polígonos;
  • os ângulos: são os ângulos dos polígonos.

Definição:

Considerando um número finito (n>3) de polígonos convexos (ou regiões poligonais convexas) tais que:
  • dois polígonos não estão num mesmo plano
  • cada lado de polígono é comum a dois e somente dois polígonos
  • o plano de cada polígono deixa os demais polígonos num mesmo semiespaço

Nestas condições ficam determinados n semiespaços, cada um dos quais tem origem no plano de um polígono e contém os restantes. A interseção desses semiespaços é chamada poliedro convexo.

Um poliedro convexo possui faces, que são os polígonos convexos, arestas que são os lados dos polígonos e vértices, que são os vértices dos polígonos. 

O Teorema de Euler, descoberto em 1758, pode ser enunciado para o caso de poliedros da seguinte maneira:

Em um poliedro convexo onde é o número de faces, o número de arestas e o número de vértices, vale a relação:

Uma demonstração simples e que pode facilmente ser apresentada no ensino médio, é aquela que demonstra a validade da fórmula para poliedros convexos utilizando indução finita. [2]

Uma outra demonstração interessante, embora talvez um pouco mais abstrata é a do professor Zoroastro Azambuja Filho para a RPM, que está disponível aqui. 

 1ª parte: Vamos inicialmente provar por indução finita sobre o número de faces que em uma superfície poliédrica limitada convexa aberta vale que:

onde é o número de faces, o de arestas e o número de vértices da superfície poliédrica limitada aberta.

Caso base:

Neste caso, temos que a superfície se reduz a um polígono plano convexo de n lados e assim, , e obtemos:

 

e a relação vale para .

Hipótese de indução: Supondo que a relação vale para uma superfície de faces (que possui vértices e arestas), vamos provar que também é válida para uma superfície de   faces (que possui faces, vértices e arestas)

Pela hipótese de indução, para a superfície de faces,  vértices e arestas vale que
 
 
Então acrescentando a essa superfície (que é aberta) uma face de arestas (lados) e considerando que dessas arestas (lados) coincidem com arestas já existentes, obteremos uma nova superfície com faces, vértices e arestas de modo que:
    •                  ( arestas coincidem)
    •        (com arestas coincidindo, teremos que vértices coincidem)

Fazendo   e substituindo os valores obtidos, ficamos com:

Com provamos que esta expressão não se altera se acrescentarmos ou retirarmos uma face da superfície. Como por hipótese , segue que

o que prova a primeira parte.

 

2ª parte: Tomando a superfície de qualquer poliedro convexo ou qualquer superfície poliédrica limitada convexa fechada (com  faces,   arestas e vértices) e retirando uma de suas faces, ficaremos com uma superfície aberta (com faces, vértices e arestas ) para a qual vale a relação .

Como , e , segue que , isto é, 

Um problema de Topologia

Até aqui estava tudo tranquilo de entender e as coisas fizeram muito sentido certo? Bom, mas e se dissermos que o problema de se determinar uma fórmula fechada em termos do número de faces, vértices e arestas de um poliedro em geral é na verdade um problema de topologia? 

O que vamos fazer é apresentar a demonstração de Cauchy para o caso mais geral do teorema, e discutir todos os pontos e ferramentas (rigor matemático) que são necessárias para fazê-la. Para isso, vamos basicamente nos inspirar em [3]

A grande questão aqui é que o Teorema de Euler não é válido para todo e qualquer poliedro, um equívoco que nem mesmo Euler havia percebido na época. Muito provavelmente, Euler (“”)

Fontes:

[1] TEOI, A. Y. Euler, Leonhard. Disponível em: <http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/person/euler.htm>. Acesso em: 1 set. 2020.

[2] POMPEO, José Nicolau; DOLCE, Osvaldo. Fundamentos de Matemática Elementar: Geometria espacial, posição e métrica. Volume 10. 6ª ed. São Paulo: Editora Atual, 2005.

[3] LIMA, Elon Lages. O Teorema de Euler sobre Poliedros. Revista Matemática Universitária. Rio de Janeiro: SBM, n.2, p.57-74, dezembro, 1985. Disponível em: <https://rmu.sbm.org.br/wp-content/uploads/sites/27/2018/03/n02_Artigo03.pdf>. Acesso em: 01 set. 2020.