Como funciona o GPS? – Derivando a matemática

Derivando a Matemática

Como funciona o

Sistema de posicionamento global (gps)

Um pouco de história...

A ideia de desenvolver o sistema GPS se inicia com lançamento do satélite Sputnik (1980) pela União Soviética, que apenas alguns dias após ser lançado, pôde ser rastreado por dois cientistas americanos, rastrearam sua órbita gravando alterações na radiofrequência por satélite. Quando estava sendo desenvolvido nos anos 70 no Departamento de Defesa dos EUA pelos engenheiros Ivan Getting e Bradford Parkinson, o projeto GPS (conhecido como NAVSTAR GPS) não era direcionado ao uso civil, o que mudou em 1983, quando caças soviéticos derrubaram um avião civil que foi perdido sobre seu território, matando 269 pessoas. A tragédia fez com que Donald Reagan, presidente dos EUA na época, passasse a permitir o uso civil do sistema GPS.

Em 2000, a seletividade da disponibilidade do GPS foi novamente eliminada, dessa vez por Bill Clinton, e os civis que antes contavam com uma precisão de 100 m, passaram a ter uma precisão de 10 a 15 metros, o que fez com que a produção de dispositivos GPS explodisse. Em 2005 já haviam 32 satélites operacionais na constelação GPS, dos quais 24 estão operando, e os demais estão prontos para assumir o controle em caso de falha. Ainda hoje, a tecnologia do GPS está sendo aprimorada e desenvolvida, e de tempos em tempos, novos satélites são enviados ao espaço.

Como funciona a Constelação GPS?

Como vimos, o sistema GPS é uma constelação de satélites dos quais 24 estão operando e os demais funcionam como backups em caso de falhas. Esses satélites estão distribuídos em seis planos orbitais que fazem um ângulo de 55º com o plano horizontal do equador e cada órbita contém (pelo menos) quatro satélites operacionais. Cada satélite orbita a Terra quase duas vezes por dia a uma altitude de aproximadamente 20.200 km acima da superfície da Terra. Há diversas razões para escolher o ângulo de inclinação destes planos orbitais, a altitude dos satélites, sua velocidade e a distância em cada órbita. Um dos principais motivos é garantir que não importa onde você esteja na superfície da Terra, haja pelo menos quatro satélites ao alcance do seu receptor GPS a qualquer momento,e isso é muito importante para que o sistema funcione. A título de curiosidade, cada satélite GPS pesa aproximadamente 908 kg e tem cerca de 5,2 m de diâmetro com os painéis solares estendidos. Além disso, cada satélite é construído para durar cerca de 10 anos e as substituições são constantes. Abaixo temos uma pequena animação que ilustra a quantidade de satélites visíveis em um ponto da Terra.

Se você é professor e pretende comentar sobre o assunto no Ensino Básico, pode usar o vídeo do Professor Albert, que apresenta o assunto com um pouco de história e não se alonga muito na parte matemática:

Mas se você é só um aluno curioso, temos conteúdo de sobra pra você. Então vamos ao que interessa!

Matematicamente falando...

Seu receptor GPS utiliza um princípio matemático simples, chamado Trilateração, para localizar sua posição a qualquer hora.

Antes de partirmos para o tridimensional, vamos explicar a ideia do principio utilizando de um problema cotidiano.

Imagine que você é um aluno novo da Unicamp e está perdido (mesmo tendo um pequeno mapa do campus em suas mãos). Então você encontra um estudante e pergunta onde está. A resposta é que você está a 100 metros da praça central da Unicamp, mas isso não te ajuda muito, já que você pode estar em qualquer lugar do círculo com centro na praça e com raio 100 (que vamos denotar por C1)

Então você desenha este círculo, com base na escala do mapa do campus e em seguida, pede informação para mais uma pessoa, que diz que você está a 200 metros do Instituto de Matemática e Estatística (IMECC), e procurando pela sigla no mapa, você novamente desenha um círculo (C2) centrado neste prédio, e com raio 200m. Com estas duas informações, seu problema de localização se reduz a dois pontos no mapa, que são os dois pontos de interseção de C1 e C2.

E como resolver este problema? Você pode fazer isso localizando um edifício no mapa, próximo dos dois locais de referência anteriores (por exemplo, o Instituto de Física) e perguntando a uma terceira pessoa a quantos metros deste instituto você está. Traçando o terceiro círculo (C3), como anteriormente, você obterá exatamente o ponto em que está localizado.

É claro que todos esses passos exigem um pouco de trabalho e a sorte de encontrar três pessoas que possam determinar distâncias precisas, mas o importante é entender o princípio.

Um receptor GPS funciona da mesma maneira, mas em três dimensões, e as pessoas que você pediu para identificarem sua posição no mapa do campus são substituídas por satélites a milhares de quilômetros da superfície da Terra, que emitem sinais contínuos e com dados cruciais armazenados neles.

Medindo a distância de um satélite

Você deve se perguntar, como um satélite determina a que distância você está.

Os sinais transmitidos pelos satélites GPS se movem na velocidade da luz (no vácuo) e atingem um receptor GPS em momentos ligeiramente diferentes, já que alguns satélites estão mais distantes do receptor do que outros. Então como determinamos a distância?

Uma vez que o receptor capta um sinal, ele reconhece imediatamente de que satélite vem, a hora de início ω (a hora em que o sinal saiu do satélite de acordo com o relógio do satélite) e o período de um ciclo no sinal capturado. O computador interno do receptor começa a “reproduzir” a mesmo código de identificação, o código que ajuda o receptor a saber qual dos quais um dos satélites ativos está transmitindo o sinal, ao mesmo tempo ω (é como se ambos reproduzissem a mesma música, mas elas não fossem sincronizadas). Os dois sinais geralmente não coincidem e haverá algum atraso devido ao tempo de viagem dt que o sinal leva para sair do satélite e alcançar o receptor. Ao comparar o quão tarde o código de identificação do satélite aparece comparado para o código do nosso receptor, podemos determinar o tempo que levou o sinal para chegar ao receptor. Uma vez calculado o atraso de tempo dt (em segundos), o computador receptor o multiplica com a velocidade da luz (no vácuo), c = 299.792.458m / s para calcular a distância que separa o satélite de o receptor GPS.

Identificando a posição do receptor

Como já resolvemos o problema de determinar a distância do receptor a um satélite, agora usaremos um pouco de geometria analítica para determinar a posição do receptor na superfície da Terra.

Vamos escolher um sistema de coordenadas com três eixos, onde a origem do sistema é o centro da Terra.

Neste sistema, o eixo z será o eixo vertical, passando pelos polos e orientado positivamente para o norte, o plano xz será o plano do meridiano de Greenwich, o eixo x estará no plano equatorial. Similarmente, vamos considerar o eixo y no plano equatorial, com os valores positivos de y passando pelo pontos que forma 90º com a direção norte e com o eixo x, como na figura abaixo:

Todos os receptores GPS são construídos com múltiplos canais, o que significa que eles podem receber e tratar sinais de pelo menos quatro satélites diferentes simultaneamente. Assim, depois de capturar os sinais de três satélites $S_1$ , $S_2$ e $S_3$ em seu alcance, o receptor calcula os atrasos de tempo $t_1$ , $t_2$ e $t_3$ respectivamente, (em segundos) captados pelos sinais dos três satélites para alcançá-lo.

Como já fizemos antes, as distâncias entre os receptores e os três satélites são calculadas fazendo: $d_1=c\cdot t_1$ , $d_2=c\cdot t_2$ e $d_3=c\cdot t_3$ , onde c é a velocidade da luz no vácuo.

Mas dizer que o receptor está a uma distância $d_1$ do satélite $S_1$ significa dizer que ele pode estar em qualquer lugar da esfera (imaginária) $\Sigma _1$ com centro em $S_1$ e raio $d_1$ . Usando os dados do sinal que informam sobre a órbita do satélite ao receptor, isto é, onde o satélite deve estar a qualquer hora do dia, obtemos a posição $(a_1,b_1,c_1)$ do satélite $S_1$ no sistema de eixos coordenados. Com todas essas informações, a equação da esfera $\Sigma _1$ é dada por:

$(x-a_1)^2+(y-b_1)^2+(z-c_1)^2=d_1^2=c^2\cdot t_1^2$

De modo análogo, como o satélite $S_2$ está a uma distância $d_2=c\cdot t_2$ , se consideramos a sua posIção como $(a_2,b_2,c_2)$ , o receptor estará em algum lugar da esfera $\Sigma_2$ centrada no satélite $S_2$ e com raio $d_2$ , cuja equação é:

$(x-a_2)^2+(y-b_2)^2+(z-c_2)^2=d_2^2=c^2\cdot t_2^2$

Conseguimos assim restringir a posição do receptor à interseção de duas esferas (um círculo). Mas como já vimos, isto não é suficiente para determinar a posição exata do nosso receptor. Então, traçamos a terceira esfera usando que o satélite $S_3$ está a uma distância $d_3=c\cdot t_3$ . Se sua posição é dada por $(a_3,b_3,c_3)$ , a equação de $\Sigma_3$ fica:

$(x-a_3)^2+(y-b_3)^2+(z-c_3)^2=d_3^2=c^2\cdot t_3^2$

Por fim, a superfície de uma esfera e um círculo se interceptam em dois pontos que o software receptor pode calcular com precisão e, para escolher o ponto procurado dentre esses dois, basta considerar a Terra como uma quarta esfera, pois um dos pontos estará muito longe da superfície, restando portanto, o ponto que determina a posição do receptor.

Do ponto de vista físico, há muitos outros fenômenos e teorias envolvidos nos processos anteriores, e dentre essas teorias, temos a Teoria da Relatividade Geral e a Teoria da Relatividade Especial, que contribuem para um ajuste correto nos relógios atômicos de cada satélite, fazendo com que a precisão do GPS seja muito maior.

Para entender estas relações, trouxemos dois vídeos muito interessantes e dinâmicos:

Quer explorar um pouco mais afundo todos os processos envolvendo o sistema GPS? Dê uma olhada em nossa bibliografia principal e nos vídeos sugeridos.

Fontes

KHOURY, J. How is it made? Global Positioning System (GPS). Jun. 2014. Disponível em: <http://aix1.uottawa.ca/~jkhoury/GPS.pdf>. Acesso em: 12 abr. 2020.

Enementar, meu caro Watson!. A Mágica do GPS – Professor Albert e a Ciência da Natureza. 2017. (12m36s). Disponível em: <https://youtu.be/3XvnaonC0U8>. Acesso em: 12 abr. 2020.