Se você é professor e pretende comentar sobre o assunto no Ensino Básico, pode usar o vídeo do Professor Albert, que apresenta o assunto com um pouco de história e não se alonga muito na parte matemática:
Mas se você é só um aluno curioso, temos conteúdo de sobra pra você. Então vamos ao que interessa!
Seu receptor GPS utiliza um princípio matemático simples, chamado Trilateração, para localizar sua posição a qualquer hora.
Antes de partirmos para o tridimensional, vamos explicar a ideia do principio utilizando de um problema cotidiano.
Imagine que você é um aluno novo da Unicamp e está perdido (mesmo tendo um pequeno mapa do campus em suas mãos). Então você encontra um estudante e pergunta onde está. A resposta é que você está a 100 metros da praça central da Unicamp, mas isso não te ajuda muito, já que você pode estar em qualquer lugar do círculo com centro na praça e com raio 100 (que vamos denotar por C1)
Então você desenha este círculo, com base na escala do mapa do campus e em seguida, pede informação para mais uma pessoa, que diz que você está a 200 metros do Instituto de Matemática e Estatística (IMECC), e procurando pela sigla no mapa, você novamente desenha um círculo (C2) centrado neste prédio, e com raio 200m. Com estas duas informações, seu problema de localização se reduz a dois pontos no mapa, que são os dois pontos de interseção de C1 e C2.
E como resolver este problema? Você pode fazer isso localizando um edifício no mapa, próximo dos dois locais de referência anteriores (por exemplo, o Instituto de Física) e perguntando a uma terceira pessoa a quantos metros deste instituto você está. Traçando o terceiro círculo (C3), como anteriormente, você obterá exatamente o ponto em que está localizado.
É claro que todos esses passos exigem um pouco de trabalho e a sorte de encontrar três pessoas que possam determinar distâncias precisas, mas o importante é entender o princípio.
Um receptor GPS funciona da mesma maneira, mas em três dimensões, e as pessoas que você pediu para identificarem sua posição no mapa do campus são substituídas por satélites a milhares de quilômetros da superfície da Terra, que emitem sinais contínuos e com dados cruciais armazenados neles.
Medindo a distância de um satélite
Você deve se perguntar, como um satélite determina a que distância você está.
Os sinais transmitidos pelos satélites GPS se movem na velocidade da luz (no vácuo) e atingem um receptor GPS em momentos ligeiramente diferentes, já que alguns satélites estão mais distantes do receptor do que outros. Então como determinamos a distância?
Uma vez que o receptor capta um sinal, ele reconhece imediatamente de que satélite vem, a hora de início ω (a hora em que o sinal saiu do satélite de acordo com o relógio do satélite) e o período de um ciclo no sinal capturado. O computador interno do receptor começa a “reproduzir” a mesmo código de identificação, o código que ajuda o receptor a saber qual dos quais um dos satélites ativos está transmitindo o sinal, ao mesmo tempo ω (é como se ambos reproduzissem a mesma música, mas elas não fossem sincronizadas). Os dois sinais geralmente não coincidem e haverá algum atraso devido ao tempo de viagem dt que o sinal leva para sair do satélite e alcançar o receptor. Ao comparar o quão tarde o código de identificação do satélite aparece comparado para o código do nosso receptor, podemos determinar o tempo que levou o sinal para chegar ao receptor. Uma vez calculado o atraso de tempo dt (em segundos), o computador receptor o multiplica com a velocidade da luz (no vácuo), c = 299.792.458m / s para calcular a distância que separa o satélite de o receptor GPS.
Identificando a posição do receptor
Como já resolvemos o problema de determinar a distância do receptor a um satélite, agora usaremos um pouco de geometria analítica para determinar a posição do receptor na superfície da Terra.
Vamos escolher um sistema de coordenadas com três eixos, onde a origem do sistema é o centro da Terra.
Neste sistema, o eixo z será o eixo vertical, passando pelos polos e orientado positivamente para o norte, o plano xz será o plano do meridiano de Greenwich, o eixo x estará no plano equatorial. Similarmente, vamos considerar o eixo y no plano equatorial, com os valores positivos de y passando pelo pontos que forma 90º com a direção norte e com o eixo x, como na figura abaixo:
Todos os receptores GPS são construídos com múltiplos canais, o que significa que eles podem receber e tratar sinais de pelo menos quatro satélites diferentes simultaneamente. Assim, depois de capturar os sinais de três satélites ,
e
em seu alcance, o receptor calcula os atrasos de tempo
,
e
respectivamente, (em segundos) captados pelos sinais dos três satélites para alcançá-lo.
Como já fizemos antes, as distâncias entre os receptores e os três satélites são calculadas fazendo: ,
e
, onde c é a velocidade da luz no vácuo.
Mas dizer que o receptor está a uma distância do satélite
significa dizer que ele pode estar em qualquer lugar da esfera (imaginária)
com centro em
e raio
. Usando os dados do sinal que informam sobre a órbita do satélite ao receptor, isto é, onde o satélite deve estar a qualquer hora do dia, obtemos a posição
do satélite
no sistema de eixos coordenados. Com todas essas informações, a equação da esfera
é dada por:
De modo análogo, como o satélite está a uma distância
, se consideramos a sua posIção como
, o receptor estará em algum lugar da esfera
centrada no satélite
e com raio
, cuja equação é:
Conseguimos assim restringir a posição do receptor à interseção de duas esferas (um círculo). Mas como já vimos, isto não é suficiente para determinar a posição exata do nosso receptor. Então, traçamos a terceira esfera usando que o satélite está a uma distância
. Se sua posição é dada por
, a equação de
fica:
Por fim, a superfície de uma esfera e um círculo se interceptam em dois pontos que o software receptor pode calcular com precisão e, para escolher o ponto procurado dentre esses dois, basta considerar a Terra como uma quarta esfera, pois um dos pontos estará muito longe da superfície, restando portanto, o ponto que determina a posição do receptor.
Do ponto de vista físico, há muitos outros fenômenos e teorias envolvidos nos processos anteriores, e dentre essas teorias, temos a Teoria da Relatividade Geral e a Teoria da Relatividade Especial, que contribuem para um ajuste correto nos relógios atômicos de cada satélite, fazendo com que a precisão do GPS seja muito maior.
Para entender estas relações, trouxemos dois vídeos muito interessantes e dinâmicos:
Quer explorar um pouco mais afundo todos os processos envolvendo o sistema GPS? Dê uma olhada em nossa bibliografia principal e nos vídeos sugeridos.
KHOURY, J. How is it made? Global Positioning System (GPS). Jun. 2014. Disponível em: <http://aix1.uottawa.ca/~jkhoury/GPS.pdf>. Acesso em: 12 abr. 2020.
Enementar, meu caro Watson!. A Mágica do GPS – Professor Albert e a Ciência da Natureza. 2017. (12m36s). Disponível em: <https://youtu.be/3XvnaonC0U8>. Acesso em: 12 abr. 2020.